Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno. Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

[math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} x_1 &= 2q \cos \psi \\ x_2 &= 3q \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección [math] x_1 [/math]); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección [math] x_2 [/math]), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2

clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje [math] x_1 [/math]; y \(z\) hace referencia a la altura.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas

Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).

• Línea coordenada \(\gamma_q\): mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

[math] \gamma_q (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2k \cos \psi \\ x_2 &= 3k \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,1) [/math].

• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

[math] \gamma_\psi (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos k \\ x_2 &= 3 \sin k \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,2\pi) [/math].

• Línea coordenada \(\gamma_z\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

[math] \gamma_z(k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos \psi \\ x_2 &= 3 \sin \psi \\ x_3 &= k \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon \mathbb{R} [/math].

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- Línea coordenada \(\gamma_q\): Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

- Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2[math] \pi [/math] obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

- Línea coordenada \(\gamma_z\):no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)[math] \epsilon \mathbb{R} [/math]

% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
 q = linspace(0, 5, 100);  
 psique = linspace(0, 2*pi, 100);  
 z = 0;  
 
 % Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros 
 hold on;
 for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10)  % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
    x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
     x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
     plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1);  % Ponemos el color verde para q
 end
 
 for qvalor = linspace(1, 5, 5)  % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
     x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
     x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
     plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1);  % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;

2 Campos de velocidad y vectores tangentes

2.1 Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

1. Derivada respecto

3 Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas

Siendo un punto [math]P[/math] de coordenadas cartesianas [math]x_1, x_2[/math] y [math]x_3[/math]; denotado como [math]P(x_1,x_2,x_3)[/math], el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo [math]a[/math] el semieje menor y [math]b[/math] el semieje mayor):

[math] \begin{cases} q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\ \psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\ z &= x_3 \end{cases} [/math] [math] \\ [/math]

3.1 ¿Cómo hallar esas relaciones?

Esa relación de [math]\psi[/math] se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la [math]q[/math] de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas [math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} \\ [/math] Quedaría así: [math] \\ q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi} \\ [/math] Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así: [math] \\ x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi \\ [/math] Utilizando [math]\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi[/math], quedaría así: [math] \\ x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi \\ [/math] Finalmente, se despeja [math]\psi[/math], quedando: [math] \\ \psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\ [/math] [math] \\ [/math] Para hallar la relación de [math]q[/math], se despeja [math]\cos\psi[/math] y [math]\sin\psi[/math] de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: [math]\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}[/math]; [math]\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}[/math]

Usando [math]\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1[/math] se obtiene: [math] \\ (\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1 \\ [/math] Y despejando [math]q[/math]: [math] \\ q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\ \\ [/math] [math] \\ [/math] La relación de [math]z[/math] permanece igual.

3.2 Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas

Si tenemos [math]P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)[/math] en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con [math]a=2[/math] y [math]b=3[/math], quedaría: [math] \\ \begin{cases} q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\ \psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\ z &= 0 \end{cases} [/math] [math] \\ [/math] [math] P(q,\psi,z)=(1,0,0)[/math]

5 Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t ([math] t\epsilon (0,2\pi) [/math]), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

[math] k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{2/3}} [/math]

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

[math] k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{2/3}} [/math]

Donde t[math] \epsilon (0,2\pi)[/math]

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

[math] k'(t)=\frac{-6(-2/3)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} = \frac{40cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} [/math]

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando [math] 40cos(t)sin(t)=0 [/math]. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

[math] \begin{cases} t_1 &= 0\\ t_2 &= \pi/2 \\ t_3 &= \pi \\ t_4 &= 3\pi/4 \end{cases} [/math]

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:

• Realizar la segunda derivada
• Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

[math] \begin{cases} P_1 &= (2,0,0)\\ P_2 &= (0,3,0)\\ P_3 &= (-2,0,0)\\ P_4 &= (0,-3,0) \end{cases} [/math] Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos [math] p_1 [/math] y [math] p_3 [/math] son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos [math] p_2 [/math]y [math] p_4 [/math] se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/2

El valor mínimo de la curvatura es: 2/3

7 La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura

Una circunferencia osculatriz es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de mayor curvatura.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

R = \( \frac{1}{k_{max}} \) = \( \frac{1}{ \frac{3}{2}} \) = \( \frac{2}{3} \)

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro punto de contacto.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

(x_c, y_c) = (0, 3-R) = (0, 3 - \( \frac{2}{3} \)) = (0, \( \frac{7}{3} \))

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

(x - x_c)² + (y - y_c)² = R² → x² + (y - \( \frac{7}{3} \))² = (\( \frac{2}{3} \))²

clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;

Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.