La presa de El Atazar (Grupo 1)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La presa de El Atazar (Grupo 1) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores |
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
La presa de El Atazar, es una de las infraestructuras hidráulicas más importantes de España y la mayor de la Comunidad de Madrid. Construida entre 1968 y 1972, se encuentra en la Sierra Norte de Madrid, sobre el río Lozoya. Forma parte del sistema de abastecimiento de agua de la capital y de toda la región. Su principal función es abastecer agua potable a Madrid, especialmente en épocas de sequía, producir energía hidroeléctrica y actúa como control de crecidas para regular los caudales del río Lozoya.
Esta presa, de tipo arco de gravedad, tiene una altura de 134 metros, lo que la convierte en una de las más altas del país, y una longitud de coronación de 484 metros. Su embalse tiene una capacidad de 425 hectómetros cúbicos. La presa del Atazar destaca por ser un símbolo de la ingeniería civil española, su relevancia la posiciona como un pilar fundamental para la sostenibilidad hídrica de la Comunidad de Madrid.
El objetivo principal de este trabajo es representar y visualizar la geometría de la presa como paso previo a un análisis detallado de su estabilidad estructural y de la interacción con el agua, considerando factores como la presión y el caudal. Para ello, se utilizará el software Matlab, especializado en programación y cálculos numéricos.
1 Representación
Consideraremos la superficie de la presa en el lado aguas arriba, que está en contacto con el agua. Suponemos que la sección transversal de la presa sea un arco de circunferencia con un eje de simetría ubicado en el valle, mientras que la sección longitudinal se comporta como un arco parabólico. En coordenadas cilíndricas (r, θ, z), la superficie puede modelarse mediante las siguientes ecuaciones: [math]θ ∈ [\frac{3π}{4}, \frac{5π}{4}][/math] y [math]Z ∈ [0,H][/math].
Parámetros iniciales de la presa y el fluido
r0 = 200; % Radio base de la presa (aproximado)
b = 35; % Curvatura del arco parabólico
H = 134; % Altura de la presa
theta = linspace(3*pi/4, 5*pi/4, 100); % Ángulo en radianes
z = linspace(0, H, 100); % Altura en metros
% Creación del mallado en 2D para los ángulos y las alturas
[Z, Theta] = meshgrid(z, theta);
% Cálculo del radio para cada punto en la superficie
R = r0 + b * (1 - (Z.^2) / H^2);
% Conversión de coordenadas cilíndricas a cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Crear la figura
figure;
surf(X, Y, Z, 'FaceColor', 'b', 'EdgeColor', 'none'); % Gráfico 3D de la superficie
xlabel('Eje X (m)');
ylabel('Eje Y (m)');
zlabel('Eje Z (m)');
title('Superficie parametrizada de la presa');
% Configuración visual
axis equal; % Asegura la misma escala en todos los ejes
view(3); % Vista en 3D
grid on; % Muestra la cuadrícula2 Campo escalar de presión
El campo escalar de presiones viene dado por la función: [math]P(z)=ρgh(z)[/math]. donde ρ es la densidad del agua, g es la aceleración de la gravedad, y h(z) es la profundidad del agua. Representamos este campo para visualizar cómo varía la presión a lo largo de la superficie aguas arriba de la presa, lo que nos permite identificar las zonas de mayor y menor presión.
% Parámetros físicos
rho = 1000; % Densidad del agua (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
% Cálculo de la presión en función de la altura
P = rho * g * (H - Z); % Presión hidrostática en la superficie
% Visualización de la superficie con colores representando la presión
figure;
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie con mapa de colores basado en P
xlabel('Eje X (m)');
ylabel('Eje Y (m)');
zlabel('Eje Z (m)');
title('Presión sobre la superficie de la presa');
% Configuración de colores y visualización
colormap(jet); % Paleta de colores para la presión
colorbar; % Barra de colores para interpretar la presión
axis equal; % Igualar las escalas de los ejes
view(3); % Vista tridimensional
grid on; % Mostrar la cuadrícula
En la imagen se observan dos gamas de colores, la primera corresponde a tonos fríos, que representa las zonas de menor presión y la segunda, compuesta por tonos cálidos, representa las regiones de mayor presión. Es coherente con el comportamiento hidrostático que los valores más altos de presión se localicen en la base de la presa y disminuyan progresivamente con la altura.
3 Campo vectorial de la fuerza de presión
Se representa el campo vectorial de la fuerza de presión tanto sobre el parámento aguas arriba de la presa como en un plano que la corta verticalmente. Esto permite visualizar cómo la presión del agua genera fuerzas perpendiculares a la superficie de la presa, cuya intensidad aumenta con la profundidad (mayor presión en las zonas más profundas). Además, la representación en el plano de corte proporciona una representación detallada de la distribución de las fuerzas, facilitando un análisis preciso de su comportamiento a lo largo de la profundidad y en diferentes secciones de la presa.
% Derivadas numéricas para obtener vectores tangentes
[Rx_theta, Rx_z] = gradient(X);
[Ry_theta, Ry_z] = gradient(Y);
[Rz_theta, Rz_z] = gradient(Z);
% Producto cruzado de vectores tangentes para obtener el vector normal
Nx = Ry_theta .* Rz_z - Rz_theta .* Ry_z;
Ny = Rz_theta .* Rx_z - Rx_theta .* Rz_z;
Nz = Rx_theta .* Ry_z - Ry_theta .* Rx_z;
% Magnitud del vector normal
N_magnitude = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);
% Vector normal unitario
Nx_unit = Nx ./ N_magnitude;
Ny_unit = Ny ./ N_magnitude;
Nz_unit = Nz ./ N_magnitude;
% Campo de fuerza de presión
Fx = -P .* Nx_unit;
Fy = -P .* Ny_unit;
Fz = -P .* Nz_unit;
% Representación del campo vectorial sobre la superficie
figure;
quiver3(X, Y, Z, Fx, Fy, Fz, 0.5, 'Color', 'yellow'); % Escala ajustable con el factor 2
hold on;
surf(X, Y, Z, P, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha',1); % Superficie semitransparente
colorbar;
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Campo vectorial de la fuerza de presión sobre la presa');
view(3);
grid on;
% Fijamos theta = 0 (corte longitudinal)
theta_cut = 0; % Corte en el plano x-z
X_cut = X(:, 51); % Extraemos el corte longitudinal (theta cerca de 0)
Z_cut = Z(:, 51); % Correspondiente en altura
P_cut = P(:, 51); % Presión en el plano
% Vectores normales en el corte
Nx_cut = Nx(:, 51); % Componente x del vector normal
Nz_cut = Nz(:, 51); % Componente z del vector normal
N_magnitude_cut = sqrt(Nx_cut.^2 + Nz_cut.^2);
% Normalización del vector normal
Nx_unit_cut = Nx_cut ./ N_magnitude_cut;
Nz_unit_cut = Nz_cut ./ N_magnitude_cut;
% Campo de fuerza de presión en el corte
Fx_cut = -P_cut .* Nx_unit_cut;
Fz_cut = -P_cut .* Nz_unit_cut;
% Gráfica del campo vectorial en el corte
figure;
quiver(X_cut, Z_cut, Fx_cut, Fz_cut, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Vectores de fuerza
hold on;
plot(X_cut, Z_cut, 'k-', 'LineWidth', 2); % Contorno de la presa en el plano
xlabel('X (m)');
ylabel('Z (m)');
title('Campo de fuerza de presión en el plano longitudinal');
grid on;
Nuevamente, los resultados obtenidos coinciden con lo esperado. Las presiones más altas se registran en la parte inferior de la presa, representadas en color amarillo, mientras que las más bajas se encuentran en la parte superior, en color azul. De esta manera, se observa como la presión aumenta conforme ascendemos de arriba hacia abajo.
