Coordenadas cilindricas elipticas Grupo 22

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 22)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Marta Sanz Alejandro Hart Marcos Fernández Juan Gimeno Pau Vives
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Elipticas

Introducción

En este trabajo estudiaremos las coordenadas cilíndricas elipticas un sistema que relaciona las coordenadas cilindricas y elipticas, es útil en problemas que involucran geometrías elípticas, como el estudio de campos de fuerza o potencial en elipses como tambien en la resolución de ecuaciones en espacios donde hay una simetría elíptica.

Estas se denotan por (q, ψ, z). Surelacion con las coordenadas cartesianas (x1, x2, x3) es:

[math]x_1 = aq cos ψ[/math]
[math]x_2 = bq sin ψ [/math]
[math]x_3 = z [/math]

3 Expresión en coordenadas elípticas en un punto

Consideramos el punto P=(x1, x2, x3) = (2, 0, 0) y lo pasamos a cordenadas elipticas mediante el siguiente proceso:

[math] q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{2^2}{2^2} + \frac{0^2}{3^2}} = 1 [/math]

[math] ψ= arctan(\frac{bx_2}{ax_1}) = arctan(\frac{0}{4}) = 0 [/math]

[math] z = x_3 = 0 [/math]

P = (q,ψ,z) = (1,0,0)

4 Parametrización de la curva

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas y las coordenadas cartesianas (x1,x2,x3) podemos parametrizar la a curva γ:

La curva γ está parametrizada por ψ lo cual significa que necesitamos expresar las coordenadas x,y de cartesianas en función de ψ, teniendo en cuenta que el valor de la componente z=0, tendríamos la siguiente parametrización:

[math] x_ψ(t)=2qcost\\ y_ψ(t)=3qsint [/math]

Teniendo en cuenta que q = 1 y que definimos que ψ varia en el intervalo [0,2π] para cubrir toda la elipse.

4.1 Grafico y codigo Matlab

Líneas coordenadas asociadas

% Definir el rango del ángulo psi
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % 100 puntos entre 0 y 2pi

% Parametrizar las coordenadas cartesianas
q = 1;  % Suposición de que q es constante y igual a 1
x1 = 2 * q * cos(psi);  % Coordenada x1
x2 = 3 * q * sin(psi);  % Coordenada x2

% Graficar la curva
figure;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal;  % Para asegurar que la escala de ambos ejes es igual
title('Curva en coordenadas cartesianas');
grid on;

5 Curvatura

Tenemos la sigueinte funcion k(t)

[math] k(t) = \frac{||\vec{r(t)}'x\vec{r(t)}''||}{||\vec{r(t)'||^3} [/math]

siendo \( \vec{r(t)} \)

[math] \vec{r(t)} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2qcost \\ 3qsent \\ 0 \end{bmatrix}, [/math]

Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como: [math] κ(t) = \frac{1}{2} [/math]

Utilizando la parametrizacion del apartado anterior vemos como quedaria la funcion k(t) dibujada en Matlab.

5.1 Gráfica y codigo Matlab

right

% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t

% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);

% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t
d2x1_dt2 = gradient(dx1_dt, t_vals); % Segunda derivada de x1 respecto a t
d2x2_dt2 = gradient(dx2_dt, t_vals); % Segunda derivada de x2 respecto a t

% Cálculo de la curvatura
kappa_vals = abs(dx1_dt .* d2x2_dt2 - dx2_dt .* d2x1_dt2) ./ ...
             ((dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2).^(3/2));

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t_vals, kappa_vals, 'k', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
title('Curvatura \kappa(t)');
grid on;

5.2 Máximos y mínimos

Añadiendo el siguiente comando conseguimos los maximos y minimos de la funcion dibujada:

[max_kappa, idx_max] = max(kappa_vals);
[min_kappa, idx_min] = min(kappa_vals);
disp(['Máx: ', num2str(max_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_max))]);
disp(['Mín: ', num2str(min_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_min))]);

obteniendo como resultado:

Max = 0.74965

Min = 0.11115

6 Vector tangente y normal

Mediante el siguiente codigo obtenemos el vector normal y tangente respecto a la curva dada:

right

% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t

% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);

% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t

% Vectores tangente y normal en un punto específico
t_point = pi/4; % Punto elegido para t
idx = find(abs(t_vals - t_point) == min(abs(t_vals - t_point))); % Índice más cercano

% Tangente en el punto
tangent = [dx1_dt(idx); dx2_dt(idx)];
tangent = tangent / norm(tangent); % Normalizamos

% Normal en el punto (perpendicular al tangente)
normal = [-tangent(2); tangent(1)];

% Coordenadas del punto en la curva
point = [x1_gamma(idx); x2_gamma(idx)];

% Graficar
figure;
plot(x1_gamma, x2_gamma, 'm', 'LineWidth', 1.5); hold on;
quiver(point(1), point(2), tangent(1), tangent(2), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
quiver(point(1), point(2), normal(1), normal(2), 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Normal
scatter(point(1), point(2), 50, 'k', 'filled'); % Punto específico

% Etiquetas y configuraciones
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Vectores Tangente y Normal en la curva \gamma');
legend('Curva \gamma', 'Tangente \vec{t}', 'Normal \vec{n}', 'Punto de interés');
grid on;
axis equal;

7 Circunferencia osculatriz

Supongamos una curva con [math] q [/math] constante, por ejemplo, [math] q [/math]=1. Entonces la curva parametrizada será:

[math]x_1(ψ)=2qcos(ψ)[/math] [math]x_2(ψ)=3sen(ψ)[/math]

Esta describe una elipse en el plano [math] x_3=0 [/math].