Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Figura 1: Líneas coordendas.

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] donde \(a = 2\) y \(b = 3\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_q\): Manteniendo \(\psi\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_q(t): \begin{cases} x_1 = 2t \cos \psi \\ x_2 = 3t \sin \psi \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(\psi\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos t \\ x_2 = 3q \sin t \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(\psi\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos \psi \\ x_2 = 3q \sin \psi \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

En el plano \(x_3=0\), las líneas coordenadas asociadas a \(q\) son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a \(\psi\) son elipses parametrizadas por \((q,\psi)\).

Las líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\) quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100);  % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % rango de psi
z = 0;  % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15)  % 15 líneas coordenadas gamma_q
    x = 2*q .* cos(psi_val);
    y = 3*q .* sin(psi_val);
    plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7)  %7 líneas coordenadas gamma_psi
    x = 2*q_val * cos(psi);
    y = 3*q_val * sin(psi);
    plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);  %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;

2 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

2.1 Campos velocidad

1. Derivada respecto a \(q\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(\psi\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]

2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]

3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]

2.3 Vectores tangentes normalizados

Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

1. Para \(\vec{e}_q\): [math] \gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]

2. Para \(\vec{e}_\psi\): [math] \gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]

3. Para \(\vec{e}_z\): [math] \gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}. [/math]

2.4 Comprobación de ortonormalidad

1. Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} = \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}. [/math]

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) no son ortogonales.

2. Producto escalar con \(\vec{e}_z\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0. [/math]

Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.

2.5 Código y gráfica

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea \(\gamma_q\) (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro \(q\) varía y \(\psi\) permanece constante en \(\psi_0 = \pi/4\). La línea representa cómo las coordenadas varían con \(q\) en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea \(\gamma_\psi\) (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro \(\psi\) varía y \(q\) permanece constante en \(q_0 = 1\). La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto \((q_0, \psi_0)\) se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:

• \(\vec{e}_q\) (en verde): Es el vector tangente a la línea \(\gamma_q\) en el punto específico, paralelo al eje \(q\).
• \(\vec{e}_\psi\) (en magenta): Es el vector tangente a la línea \(\gamma_\psi\) en el punto específico, paralelo al eje \(\psi\).

Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\).

% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3; 
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0]; 
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
    'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;

3 Punto P en coordenadas elípticas

Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] y dado el punto en cartesianas P=\((x_1, x_2, x_3)\)=\((2, 0, 0)\)

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar \(q\) y \(ψ\): [math] \begin{cases} q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\ ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1}) \end{cases} [/math]

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases} q= 1 \\ ψ= 0 \\ z= 0 \end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= \((q,ψ,z)\)=\((1, 0, 0)\)

4 Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas

Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x1,x2,x3)\):

[math] \begin{aligned} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math]

donde \(a = 2\) y \(b = 3\), y siendo la curva \((γ_ψ(t))\) ya parametrizada y con sus componentes \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2·1·\cos t \\ x_2 = 3·1·\sin t \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math]

Curva parametrizada.

%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on

5 Curvatura y puntos máximos y mínimos

Teniendo la parametrización de la curva: [math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2·1·\cos t \\ x_2 = 3·1·\sin t \\ x_3 = 0 \end{cases} [/math] cuyas componentes son \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\):

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula: [math] \kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3} [/math]

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

[math] \kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}} [/math]

Figura 4: Curvatura k(t).

% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70); 

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);

6 Vectores tangente y normal a la curva

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones \(x_1 = a \cos(t)\) y \(x_2 = b \sin(t)\), donde \(a = 2\) y \(b = 3\).

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro \(t\) para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva \(\gamma(t)\) junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

Figura 5: Vectores tangente y normal

% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10); 
x1_puntos = a * cos(t_puntos); 
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos);  % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente; 
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y; 
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100); 
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');

8 Superficies de nivel de campos escalares

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(q,\psi,z)=q\), \(f_2(q,\psi,z)=\psi\) y \(f_3(q,\psi,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}\)

Que en cartesianas son:

• \(f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}\)
• \(f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}\)
• \(f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}\)

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar \(f_1\) representan elipses centradas en el origen, las de \(f_2\) representan planos inclinados que pasan por el eje \(x_3\), y las de \(f_3\) representan planos horizontales a "cota" \(c\).

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):

Superficies de nivel.

% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas 
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50); 

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla)); 

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;