La catenaria (grupo 24)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Catenaria. Grupo 24
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	David Santafé Palacios Pedro Suñé Pérez Beatriz Bernal Castañeda Raquel Roque Serrano
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

La catenaria es una curva fundamental en ingeniería civil, ya que describe la forma que adoptan los cables o cadenas flexibles suspendidos bajo su propio peso, sin otras fuerzas externas. Su aplicación es clave en el diseño de estructuras como puentes colgantes, líneas de transmisión eléctrica y cubiertas tensadas, donde la eficiencia estructural y la distribución uniforme de tensiones son esenciales. Este trabajo explora las propiedades matemáticas de la catenaria, su relación con otras curvas como la parábola y sus principales aplicaciones prácticas, destacando su importancia en la optimización y seguridad de proyectos ingenieriles.

FORMA DE LA CATENARIA

Siendo la curva representada por:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(t/A)), t∈(-1,1)[/math]

Para la representación y cálculos de a continuación usaremos el programa Matlab

1 Dibujar la curva

REPRESENTACIÓN CATENARIA

1.1 Código

% Definir la parametrización
a=2;
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

2 Calcular los vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ"(t), y dibujarlos junto a la curva

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el que va desde el origen del sistema de referencia hasta la ubicación de la partícula. El vector velocidad se obtiene al derivar el vector posición con respecto al tiempo. Por su parte, el vector aceleración es la derivada del vector velocidad. En general, el vector aceleración γ′′(t) no tiene por qué ser ortogonal al vector velocidad γ′(t). Sin embargo, sí lo será si la curva γ(t) está parametrizada por la longitud de arco, es decir, cuando la magnitud de la velocidad ∣γ′(t)∣=1|.

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,2cosh(t/2)) [/math]
[math]γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(senh(t/2))\vec j [/math]
[math]γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + \frac{cosh(t/2)}{2})\vec j [/math]

2.2 Representación de los vectores

GRÁFICA DE LA CURVATURA

% Definir la parametrización
a=2;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

5 Cálculo de curvatura k(t)

En este análisis de la curva parametrizada γ(t)=(t,2cosh(t/2)), nos enfocamos en estudiar su curvatura κ, un parámetro que indica cuán alejada está la curva de ser una línea recta en cada punto. Graficando κ(t) , podemos observar cómo varía la "tensión" o el "giro" de la curva a lo largo de su recorrido, lo que nos da una comprensión más profunda de su comportamiento geométrico local.
Para calcularla se usará la siguiente expresión:

[math]Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} [/math]

5.1 Código MATLAB de la curvatura

GRÁFICA DE LA CURVATURA

% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = 2*cosh(t/2);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t/2);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t/2)/2;
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - V2 .* A1;
denominador = (V1.^2 + A1.^2).^(3/2);
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;