Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno. Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

[math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} x_1 &= 2q \cos \psi \\ x_2 &= 3q \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección [math] x_1 [/math]); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección [math] x_2 [/math]), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2

clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje [math] x_1 [/math]; y \(z\) hace referencia a la altura.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas

Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).

• Línea coordenada \(\gamma_q\): mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

[math] \gamma_q (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2k \cos \psi \\ x_2 &= 3k \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,1) [/math].

• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

[math] \gamma_\psi (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos k \\ x_2 &= 3 \sin k \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,2\pi) [/math].

• Línea coordenada \(\gamma_z\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

[math] \gamma_z(k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos \psi \\ x_2 &= 3 \sin \psi \\ x_3 &= k \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon \mathbb{R} [/math].

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

• Línea coordenada \(\gamma_q\): Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.
• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2[math] \pi [/math] obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

Por otra parte, para las líneas coordenadas \(\gamma_z\) no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)[math] \epsilon \mathbb{R} [/math]

% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
 q = linspace(0, 5, 100);  
 psique = linspace(0, 2*pi, 100);  
 z = 0;  
 
 % Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros 
 hold on;
 for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10)  % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
    x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
     x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
     plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1);  % Ponemos el color verde para q
 end
 
 for qvalor = linspace(1, 5, 5)  % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
     x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
     x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
     plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1);  % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;