Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos muy constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo veamos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.
Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:
[math] \begin{cases} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]
En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:
[math] \begin{cases} x_1 &= 2q \cos \psi \\ x_2 &= 3q \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math]
Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse;\(b\) como el semieje mayor, viéndose la elipse de la siguiente forma:
.jpg)
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
Donde \(q\), hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen; \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje [math] x_1 [/math]; y \(z\) hace referencia a la altura.
Parametrizaciones de las líneas coordenadas
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.
En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
- Línea coordenada \(\gamma_q\): mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).
[math] \gamma_q (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2k \cos \psi \\ x_2 &= 3k \sin \psi \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,1) [/math].
- Línea coordenada \(\gamma_\psi\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).
[math] \gamma_\psi (k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos k \\ x_2 &= 3 \sin k \\ x_3 &= z \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,2\pi) [/math].
- Línea coordenada \(\gamma_z\): mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).
[math] \gamma_z(k)\:\begin{cases} x_1 &= 2 \cos \psi \\ x_2 &= 3 \sin \psi \\ x_3 &= k \end{cases} [/math] Con \(k\) [math] \epsilon (0,) [/math].
