La cicloide (grupo 8)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 8
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Marta Reiter Hernández Paula Repáraz Cabezudo Alonso García Viñas Rodrigo Nuñez de Santos Alberto Zapatero Alujas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]

En la cual se considera R=2 como dato fijo

1 Representación de la curva

A partir de su parametrización y con matlab obtenemos la imagen de la curva, la cual corresponde al siguiente código.

% Parámetros
R = 2;               % Radio del círculo generador
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Rango de t, con 2 ciclos completos

% Ecuaciones paramétricas del cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'green', 'LineWidth', 1);
axis equal;
grid on;
title('Cicloide generado por un círculo rodante');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

Archivo:Cicloide.jpg

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el que une el origen con la posición particular de la curva, describiendo así su localización en el espacio.
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (2(t-sint),2(1-cost))[/math]

El vector velocidad se define como la derivada del vector posición con respecto al tiempo, el cual es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto.
[math] γ'(t) = (x'(t)\vec i + y'(t)\vec j) = (2 (1-cost)\vec i + 2 (sint)\vec j)[/math]

El vector aceleración se define como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo, el cual puede medir cambios de rapidez o cambios de dirección. [math] γ''(t) = (x''(t)\vec i + y''(t)\vec j) = (2 (sint)\vec i + 2 (cost)\vec j)[/math]

2.2 Representación de los vectores

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Vectores velocidad (derivada de la posición)
Vx = 2 * (1 - cos(t));      % Componente x del vector velocidad
Vy = 2 * sin(t);            % Componente y del vector velocidad

% Vectores aceleración (derivada de la velocidad)
Ax = 2 * sin(t);            % Componente x del vector aceleración
Ay = 2 * cos(t);            % Componente y del vector aceleración

% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores de Velocidad y Aceleración');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

% Configuraciones para los vectores
step = 3;     % Intervalo para dibujar vectores
escala = 1;  % Escala de los vectores

% Dibujar vectores de velocidad en naranja
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Vx(i), Vy(i), escala, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3); % verde
end

% Dibujar vectores de aceleración en verde
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Ax(i), Ay(i), escala, 'color', 'yellow', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % amarillo
end

% Agregar leyenda
legend('Cicloide', 'Vectores de Velocidad', 'Vectores de Aceleración', 'Location', 'best');

hold off;

3 Longitud de la curva

%Definición parámetros
t=linspace(0,2*pi,n);
a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;

f = @(t) sqrt((2 - 2 * cos(t))^2 + (2 * sin(t))^2);

% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);

disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])

function S = integral(a, b, f, n)
    % Método del rectángulo usando el punto medio
    h = (b - a) / n;  % Ancho de cada subintervalo
    S = 0;  % Inicialización de la suma
    for i = 1:n
        xmed = a + (i - 0.5) * h;  % Punto medio del subintervalo
        S = S + f(xmed) * h;  % Suma de áreas de cada rectángulo
    end
end

4 Vectores tangente y normal

4.1 Definición vector tangente y normal

El vector tangente, vector unitario, es el cual indica la dirección de curva o superficie en un punto específico. Este se puede definir como el gradiente de una curva vectorial. [math] t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{(x'(t),y'(t)}{sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}} [/math]

El vector normal, también unitario, se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico, siendo así perpendicular también al vector tangente. Esto se representa como que el producto escalar de ambos vectores da 0 como resultado. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia adentro o hacia afuera de la propia superficie.

4.2 Representación de los vectores

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t (100 puntos para suavidad)
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Ecuaciones para el vector tangente
Tx = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
Ty = sin(t) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

% Ecuaciones para el vector tangente
Nx = (-sin(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
Ny = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

%Invertir la dirección de los vectores normales
Nx=-Nx;
Ny=-Ny;

% Dibujo de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); %curva cicliode en azul
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores Tangentes y Normales');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

%ajustar el número de vectores tangentes
step=5 %dibuja un vector tangente cada 10 puntos

% Dibujar los vectores tangentes
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Tx(i), Ty(i), 3, 'color', [1, 0.5, 0], 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end

% Dibujar los vectores normales
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Nx(i), Ny(i), 3, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end

%agregar leyenda
legend('cicloide','Vectores Tangentes','Vectores Normales','Location','best')
hold off;

5 Curvatura de la curva

5.2 Representación de la curvatura

% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t x = 2 * (t - sin(t));  % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t));  % Ecuación del cicloide (y)

% Curvatura de la cicloide k = (cos(t) - 1) ./ ( (2 - 2*cos(t)).^(3/2) );

% Dibujo de la curvatura subplot(2, 1, 2); % Segundo gráfico: curvatura plot(t, k, 'r', 'LineWidth', 2); grid on; title('Curvatura de la Cicloide'); xlabel('t'); ylabel('k(t)'); hold off;

6 La circunferencia osculatriz

6.3 Representación de la circunferencia

% Parámetros de la cicloide t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t x = 2 * (t - sin(t));  % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t));  % Ecuación del cicloide (y)

% Parámetros de la circunferencia r = 3.367;  % Radio de la circunferencia centro_x = 4;  % Componente fija en x del centro (4) centro_y = 0;  % Componente variable en y (movimiento del centro a lo largo del eje y)

% Dibujo de la cicloide figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul hold on; axis equal; grid on; title('Cicloide y Circunferencia Osculatriz'); xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');

% Dibujo de la circunferencia con centro en movimiento theta = linspace(0, 2*pi, 100);  % Ángulo para la circunferencia for i = 1:length(t)

   % Calculamos las coordenadas del centro
   x_circ = centro_x + r * cos(theta);      % Coordenadas x de la circunferencia
   y_circ = 0 + r * sin(theta);   % Coordenadas y de la circunferencia
   
   % Dibujamos la circunferencia en cada punto
   plot(x_circ, y_circ, 'r--', 'LineWidth', 2); % Circunferencia en rojo

end

% Agregar leyenda legend('Cicloide', 'Circunferencia Osculatriz', 'Location', 'best');

hold off;

7 La cicloide

7.2 Representación superficie

% Parámetros R = 1;  % Radio de la cicloide u = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de u v = linspace(0, 1, 50);  % Rango de v

% Crear la malla de puntos para u y v [U, V] = meshgrid(u, v);

% Parametrización de la cicloide en 3D x = V;  % x(u,v) = v y = R * (U - sin(U));  % y(u,v) = R(u - sin(u)) z = R * (1 + cos(U));  % z(u,v) = R(1 + cos(u))

% Graficar la superficie figure; surf(x, y, z); colormap jet;  % Colormap para la visualización shading interp;  % Suaviza la superficie title('Cicloide en 3D con Parametrización y(u,v)'); xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z'); axis equal; grid on;