La cicloide (grupo 8)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 8
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Marta Reiter Hernández Paula Repáraz Cabezudo Alonso García Viñas Rodrigo Nuñez de Santos Alberto Zapatero Alujas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]

En la cual se considera R=2 como dato fijo

1 Representación de la curva

A partir de su parametrización y con matlab obtenemos la imagen de la curva, la cual corresponde al siguiente código.

% Parámetros
R = 2;               % Radio del círculo generador
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Rango de t, con 2 ciclos completos

% Ecuaciones paramétricas del cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'green', 'LineWidth', 1);
axis equal;
grid on;
title('Cicloide generado por un círculo rodante');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

Archivo:Cicloide.jpg

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el que une el origen con la posición particular de la curva, describiendo así su localización en el espacio.
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (2(t-sint),2(1-cost))[/math]

El vector velocidad se define como la derivada del vector posición con respecto al tiempo, el cual es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto.
[math] γ'(t) = (x'(t)\vec i + y'(t)\vec j) = (2 (1-cost)\vec i + 2 (sint)\vec j)[/math]

El vector aceleración se define como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo, el cual puede medir cambios de rapidez o cambios de dirección. [math] γ''(t) = (x''(t)\vec i + y''(t)\vec j) = (2 (sint)\vec i + 2 (cost)\vec j)[/math]

2.2 Representación de los vectores

% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t x = 2 * (t - sin(t));  % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t));  % Ecuación del cicloide (y)

% Vectores velocidad (derivada de la posición) Vx = 2 * (1 - cos(t));  % Componente x del vector velocidad Vy = 2 * sin(t);  % Componente y del vector velocidad

% Vectores aceleración (derivada de la velocidad) Ax = 2 * sin(t);  % Componente x del vector aceleración Ay = 2 * cos(t);  % Componente y del vector aceleración

% Dibujo del cicloide figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul hold on; axis equal; grid on; title('Cicloide con Vectores de Velocidad y Aceleración'); xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');

% Configuraciones para los vectores step = 3;  % Intervalo para dibujar vectores escala = 1;  % Escala de los vectores

% Dibujar vectores de velocidad en naranja for i = 1:step:length(t)

   quiver(x(i), y(i), Vx(i), Vy(i), escala, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3); % verde

end

% Dibujar vectores de aceleración en verde for i = 1:step:length(t)

   quiver(x(i), y(i), Ax(i), Ay(i), escala, 'color', 'yellow', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % amarillo

end

% Agregar leyenda legend('Cicloide', 'Vectores de Velocidad', 'Vectores de Aceleración', 'Location', 'best');

hold off;

3 Longitud de la curva

%Definición parámetros
t=linspace(0,2*pi,n);
a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;

f = @(t) sqrt((2 - 2 * cos(t))^2 + (2 * sin(t))^2);

% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);

disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])

function S = integral(a, b, f, n)
    % Método del rectángulo usando el punto medio
    h = (b - a) / n;  % Ancho de cada subintervalo
    S = 0;  % Inicialización de la suma
    for i = 1:n
        xmed = a + (i - 0.5) * h;  % Punto medio del subintervalo
        S = S + f(xmed) * h;  % Suma de áreas de cada rectángulo
    end
end

4 Vectores tangente y normal

% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t (100 puntos para suavidad) x = 2 * (t - sin(t));  % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t));  % Ecuación del cicloide (y)

% Ecuaciones para el vector tangente Tx = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t)); Ty = sin(t) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

% Ecuaciones para el vector tangente Nx = (-sin(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t)); Ny = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

%Invertir la dirección de los vectores normales Nx=-Nx; Ny=-Ny;

% Dibujo de la curva figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); %curva cicliode en azul hold on; axis equal; grid on; title('Cicloide con Vectores Tangentes y Normales'); xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');

%ajustar el número de vectores tangentes step=5 %dibuja un vector tangente cada 10 puntos

% Dibujar los vectores tangentes for i = 1:step:length(t)

   quiver(x(i), y(i), Tx(i), Ty(i), 3, 'color', [1, 0.5, 0], 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);

end

% Dibujar los vectores normales for i = 1:step:length(t)

   quiver(x(i), y(i), Nx(i), Ny(i), 3, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);

end

%agregar leyenda legend('cicloide','Vectores Tangentes','Vectores Normales','Location','best') hold off;

4.1 Definición vector tangente y normal

El vector tangente, vector unitario, es el cual indica la dirección de curva o superficie en un punto específico. Este se puede definir como el gradiente de una curva vectorial.
El vector normal se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia dentro o hacia afuera de la propia superficie.