El vórtice de Rankine (grupo 34)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | El vórtice de Rankine (Grupo 34) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 2 Campo de velocidades
- 3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades
- 4 Ojo del vórtice
- 5 Campo de presiones con planos paralelos a la superficie
- 6 Representación campo del gradiente de presión
- 7 Flujos de masa en el vórtice de Rankine
- 8 Aplicaciones de este modelo en huracanes
- 9 Vórtices
1 Introducción
El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.
Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.
2 Campo de velocidades
En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math] como [math]\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}=v_{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}[/math], donde:
[math]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,[/math]
3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades
La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que [math]\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0[/math].
Esto nos indica que la velocidad es contante para todos los puntos.
El rotacional es constante para los puntos que cumplen [math] r\le R[/math] y nula para todos los puntos que cumplen [math]r\gt R[/math].
[math]\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ u_{r} & ru_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\ 0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r \gt R \end{aligned} \right. \end{equation} [/math]
Esto se entiende como que los puntos dentro del ojo rotan al rededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria, mientras que los puntos fuera del ojo rotan tanto al rededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante.
