La Clotoide (Grupo 10)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 10
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Nerea García Puig Irene Melendo Félix Nerea Rodrigañez Martínez Ana Rua Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos. Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

2 Dibujo de la curva

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) [/math]

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:

Dibujo de la curva

clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(-5, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
    % Definimos los extremos del intervalo de integración
    s_prev = t(i-1);
    s_curr = t(i);
    
    % Calculamos las funciones en los extremos
    f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
    f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
    f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
    f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);
    
    % Aproximamos integrales con el método del trapecio
    x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
    y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t) usando el método del trapecio');
grid on;
axis equal;

3 Vectores velocidad y aceleración

Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) [/math]

• El vector velocidad se define como:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]

• El vector aceleración se define como:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(-5,5) [/math]

Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:

Figura 2: Velocidad y aceleración

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure; 
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

4 Longitud de la curva

Sea γ(t): (a,b)→ R^2 la parametrización de nuestra curva. Podemos obtener su longitud siguiendo dos procedimientos diferentes:

• De forma teorica:

Siguiendo la siguiente fórmula:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 [/math]

• Utilizando el método del trapecio: