La clotoide (Grupo 40)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La clotoide. Grupo 40
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Un clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-L,L) [/math]

1 La Clotoide

1.1 Dibujo de la curva

Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave. (L=5)

Dibujo de la curva

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;

1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(-5,5) [/math]

Calculo vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Calculo vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Vectores velocidad y aceleración

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t); 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ; 
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ; 
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");

1.3 Cálculo longitud de la curva

Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 5-(-5)= 10 [/math]

1.4 Cálculo de los vectores tangente y normal

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:

El vector tangente:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Curva vector tangente y normal

t = linspace(-5, 5, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

1.5 Cálculo de la curvatura

Estudiaremos la curvatura en el punto [math] γ(t) [/math] que viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] [math] =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [-5,5] [/math]

Dibujo de la curvatura

t=linspace(-5,5,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');