El vórtice de Rankine (Grupo 4)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El vórtice de Rankine (Grupo 4)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes. En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

2 Campo de velocidades

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas:
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice.
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos.
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math], donde:
[math]v_{r}=0,[/math]

[math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\lt R \\ \end{Bmatrix} R \\ \end{Bmatrix}[/math]

Mallado

% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R^2 * v_theta_R / R; % Circulación ajustada a v_theta(R)

% Conversión de unidades
R = R * 1000; % Convertir a metros
v_theta_R = v_theta_R / 3.6; % Convertir a m/s

n = 100; % Número de puntos en cada dirección
% Variables polares
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial (0 a 2R)
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo (0 a 2pi)

% Mallado de las polares
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht);
% Mallado pasado a cartesianas
x = Mrho .* cos(Mtht);
y = Mrho .* sin(Mtht);

% Calcular la velocidad tangencial del vórtice
Vtheta = zeros(size(Mrho)); % Inicializar velocidad tangencial
Vtheta(Mrho <= R) = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho(Mrho <= R); % Dentro del núcleo (r <= R)
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior (r > R)

% Descomposición de velocidades en componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht); % Componente x
Vy = Vtheta .* cos(Mtht); % Componente y

% Crear las máscaras para diferenciar las zonas
mask_eye = Mrho <= R; % Ojo del vórtice (r <= R)
mask_exterior = Mrho > R; % Exterior del vórtice (r > R)

% Graficar el campo de velocidades
figure;
hold on;
quiver(x(mask_eye), y(mask_eye), Vx(mask_eye), Vy(mask_eye), 1, 'r'); % Ojo del vórtice en rojo
quiver(x(mask_exterior), y(mask_exterior), Vx(mask_exterior), Vy(mask_exterior), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;

axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

3 Divergencia y gradiente del campo de velocidades

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades \mathbf{v} = v_r \mathbf{e_r} + v_\theta \mathbf{e_\theta} + v_z \mathbf{e_z} en coordenadas cilíndricas (r, \theta, z) se calcula mediante: