Flujo de Couette entre dos tubos cocéntricos. Grupo 14

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Flujo de Couette entre dos tubos cocéntricos. Grupo 14
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Oscar García Caballero Daniel García-Alcaide Presa Eduardo Juarranz del Valle Juan Holgado Sánchez Jose Antonio Calvo de las Heras
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

El Flujo de Couette

1 Mallado de la sección transversal

Primeramente vamos a representar una sección transversal del fluido respecto a los parámetros [math] \rho=2 [/math] para el tubo exterior, [math] \rho=1 [/math] para el tubo interior y [math] \theta ∈ [0,2\pi][/math] . Seccionamos ambos tubos según el plano [math]x_3=0[/math], representamos los ejes mediante los [math] (x,y) ∈ [-4,4] × [-4,4][/math].

Para poder representar la sección seguimos el siguiente código en MatLab:

% MALLADO DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL
rho=1:0.08:2;                                % INTERVALO DE RHO [1,2]
theta=0:0.08:2*pi;                           % INTERVALO DE THETA [0,2*PI]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);             % MATRIZ DE PARAMETROS
rho1=1;
rho2=2;
[RHO1,THETA1]=meshgrid(rho1,theta);
[RHO2,THETA2]=meshgrid(rho2,theta);
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grid on                                      % MALLADO EJES
x=RHO.*cos(THETA);                           % PARAM DE X
y=RHO.*sin(THETA);                           % PARAM DE Y
mesh(x,y,0*x,'EdgeColor','b')                % DIBUJO DE LA FIGURA
t=rho1.*cos(theta);                          % CREACION CILINDRO INTERIOR
s=rho1.*sin(theta);
plot(t,s,'k','LineWidth',2)
t=rho2.*cos(theta);                          % CREACION CILINDRO EXTERIOR
s=rho2.*sin(theta);
plot(t,s,'k','LineWidth',2)
axis([-4,4,-4,4])                            % EJES DEL DIBUJO  
title('MALLADO DE LA SECCION TRANSVERSAL')   % TITULO DE LA GÁFICA
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2 Ecuación Navier-Stokes

La velocidad de las partículas del fluido viene expresada según el campo vectorial [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], donde la presión ([math]p[/math]) es constante.Además, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stockes estacionaria definida por la siguiente expresión:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]

Nota: EL valor µ representa el coeficiente de viscosidad del fluido.

Analizando la expresión, aseguramos que al tratarse de una presión constante su gradiente es nulo ( [math]∇p = 0[/math] ) y además despreciando el término convectivo (primer término de la fórmula) finalmente obtenemos que:

[math]µ∆\vec{u} =\vec{0}[/math]

Nota: [math]∆\vec{u} [/math] representa el laplaciano vectorial del campo de velocidades.

La simplificación obtenida de la ecuación de Navier-Stokes representa un flujo viscoso estacionario en el cual no hay gradientes de presión ni fuerzas externas con efectos inerciales significativos. Su resolución depende unicamente de las condiciones de frontera en el recinto que se indique.

3 Campo de velocidades

Para este apartado vamos a suponer que ω = 1 y μ = 1:

[math]a = \frac{2}{3} [/math] y [math] b = -\frac{2}{3}[/math]

Sustituimos en la función:

[math] f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) [/math]

De tal forma que nuestro campo quedaría tal que:

[math] \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{2}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta [/math]

Ahora representamos este campo en una gráfica de mathlab:

% CAMPO DE VELOCIDADES

u=1:0.08:2;                               % INTERVALO DE U
v=0:0.08:2*pi;                            % INTERVALO DE V
[U,V]=meshgrid(u,v);                      % MATRIZ DE PARAMETROS
x=U.*cos(V);                              % PARAMETRIZACIÓN
y=U.*sin(V);

X=sin(V).*((2/3)*(U-1./U));               % FUNCION
Y=cos(V).*(-(2/3)*(U-1./U));              % FUNCION
hold on
grid on 
title('CAMPO DE VELOCIDADES')
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5]) 
quiver(x,y,X,Y);                          % DIBUJO CAMPO VECTORIAL
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4 Líneas de Corriente del campo

Las líneas de corriente son tangentes al campo [math] \vec u [/math] en cada punto. Vamos a buscar el campo [math] \vec v [/math] que es perpendicular al campo [math] \vec u [/math]

% LINEAS DE CORRIENTE
h=90;                             % NÚMERO DE PARTES DEL INTERVALO
rho=linspace(1,2,h);              % PARAMERTO RHO [1,2]
theta=linspace(0,2*pi,h);         % PARAMETRO THETA [0,2*pi]
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);  % MATRIZ DE PARAMETROS
fv=((2*log(RHO)/3)-((2*RHO)/3));  % CAMPO ESCALAR
X=RHO.*cos(THETA);                % PARAMETRIZACIÓN
Y=RHO.*sin(THETA);
hold on
grid on
title('LINEAS DE CORRIENTE')
axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5])         % EJES
view(2)                     
contour(X,Y,fv,20);colorbar       % LÍNEAS DE NIVEL
colormap("default")
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