Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Alberto Fidalgo Alberto Barca Andrea Carrera Carmen Contreras Enrique Echevarría
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar....

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

2.1 Código MATLAB y gráfica

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2.2 Cálculos Teóricos \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

⇒\(\gamma_u\)
[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math].
⇒\(\gamma_v\)
[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math].
⇒\(\gamma_z\)
[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

2.2.2 Factores de Escala

Los factores de escala h_u, hᵥ, h_z corresponden a los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

2.4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.