Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Figura 1: Líneas coordendas.

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{aligned} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math] donde \(a = 2\) y \(b = 3\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_q\): Manteniendo \(\psi\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_q(t): \begin{cases} x_1 = 2t \cos \psi \\ x_2 = 3t \sin \psi \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(\psi\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos t \\ x_2 = 3q \sin t \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(\psi\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos \psi \\ x_2 = 3q \sin \psi \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

En el plano \(x_3=0\), las líneas coordenadas asociadas a \(q\) son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a \(\psi\) son elipses parametrizadas por \((q,\psi)\).

Las líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\) quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100);  % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % rango de psi
z = 0;  % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15)  % 15 líneas coordenadas gamma_q
    x = 2*q .* cos(psi_val);
    y = 3*q .* sin(psi_val);
    plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7)  %7 líneas coordenadas gamma_psi
    x = 2*q_val * cos(psi);
    y = 3*q_val * sin(psi);
    plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);  %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;

2 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

2.1 Campos velocidad

1. Derivada respecto a \(q\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(\psi\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]

2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]

3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]

2.3 Vectores tangentes normalizados

Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

1. Para \(\vec{e}_q\): [math] \gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]

2. Para \(\vec{e}_\psi\): [math] \gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]

3. Para \(\vec{e}_z\): [math] \gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}. [/math]

2.4 Comprobación de ortonormalidad

1. Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} = \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}. [/math]

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) no son ortogonales.

2. Producto escalar con \(\vec{e}_z\): [math] \vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0. [/math]

Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.

2.5 Código y gráfica

% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3; 
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0);

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Vectores tangentes en el punto (q0, psi0)
e_q = [2*cos(psi0); 3*sin(psi0)] / sqrt((2*cos(psi0))^2 + (3*sin(psi0))^2); % e_q
e_psi = [-2*q0*sin(psi0); 3*q0*cos(psi0)] / sqrt((2*q0*sin(psi0))^2 + (3*q0*cos(psi0))^2); % e_psi

% Gráfica
figure;
hold on;

plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

quiver(0, 0, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2); % e_q en verde
quiver(0, 0, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2); % e_ψ en magenta

xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'\gamma_q', '\gamma_\psi', 'e_q', 'e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;

6 Vectores tangente y normal a la curva

Figura 5: Vectores tangente y normal

a = 2; 
b = 3;

% Puntos seleccionados en la curva
t_points = linspace(0, 2*pi, 10); 
x1_points = a * cos(t_points); 
x2_points = b * sin(t_points);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_points);
dx2_dt = b * cos(t_points);
mod_t = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2);
t_hat_x = dx1_dt ./ mod_t;
t_hat_y = dx2_dt ./ mod_t;
n_hat_x = -t_hat_y;
n_hat_y = t_hat_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;
quiver(x1_points, x2_points, t_hat_x, t_hat_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2);
quiver(x1_points, x2_points, n_hat_x, n_hat_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2);
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');

8 Superficies de nivel de campos escalares

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(q,\psi,z)=q\), \(f_2(q,\psi,z)=\psi\) y \(f_3(q,\psi,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}\)

Que en cartesianas son:

• \(f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}\)
• \(f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}\)
• \(f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}\)

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar \(f_1\) representan elipses centradas en el origen, las de \(f_2\) representan planos inclinados que pasan por el eje \(x_3\), y las de \(f_3\) representan planos horizontales a "cota" \(c\).

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):

% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas 
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

figure;
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50); 

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla)); 

figure;
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title(['Plano horizontal para f_3(q, \psi, z) = z = ', num2str(z_const)]);
axis equal;
grid on;