Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2024-25
Autores Rubén Maleno Ayala
Javier Aparicio Ramos
Sergio Alves Flores
Eduardo López Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Figura 1: Líneas coordendas.

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\): [math] \begin{aligned} x_1 &= aq \cos \psi \\ x_2 &= bq \sin \psi \\ x_3 &= z \end{aligned} [/math] donde \(a = 2\) y \(b = 3\), las líneas coordenadas son:

  • Línea coordenada \(\gamma_q\): Manteniendo \(\psi\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_q(t): \begin{cases} x_1 = 2t \cos \psi \\ x_2 = 3t \sin \psi \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

  • Línea coordenada \(\gamma_\psi\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(\psi\):

[math] \gamma_\psi(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos t \\ x_2 = 3q \sin t \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

  • Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(\psi\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = 2q \cos \psi \\ x_2 = 3q \sin \psi \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

En el plano \(x_3=0\), las líneas coordenadas asociadas a \(q\) son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a \(\psi\) son elipses parametrizadas por \((q,\psi)\).

Las líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\) quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB: 


% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100);  % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % rango de psi
z = 0;  % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15)  % 15 líneas coordenadas gamma_q
    x = 2*q .* cos(psi_val);
    y = 3*q .* sin(psi_val);
    plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7)  %7 líneas coordenadas gamma_psi
    x = 2*q_val * cos(psi);
    y = 3*q_val * sin(psi);
    plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);  %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;


2 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

2.1 Relación inicial

La relación entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es: [math] \begin{aligned} x_1 &= 2q \cos \psi, \\ x_2 &= 3q \sin \psi, \\ x_3 &= z. \end{aligned} [/math]

2.2 Campos velocidad

1. **Derivada respecto a \(q\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial q} &= 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} &= 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_q &= (2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]

2. **Derivada respecto a \(\psi\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} &= -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} &= 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_\psi &= (-2q \sin \psi) \mathbf{i} + (3q \cos \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]

3. **Derivada respecto a \(z\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} &= 1, \\ \Rightarrow \gamma'_z &= \mathbf{k}. \end{aligned} [/math]

2.3 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]

2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]

3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]

2.4 Vectores tangentes normalizados

Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \mathbf{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \mathbf{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

1. Para \(\mathbf{e}_q\): [math] \mathbf{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]

2. Para \(\mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \mathbf{i} + (3 \cos \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]

3. Para \(\mathbf{e}_z\): [math] \mathbf{e}_z = \mathbf{k}. [/math]

2.5 Comprobación de ortonormalidad

Calculamos los productos escalares entre los vectores normalizados:

1. Producto escalar \(\mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math] Simplificando: [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{-4 \cos \psi \sin \psi + 9 \cos \psi \sin \psi}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} \neq 0. [/math]

Por lo tanto, \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) **no son ortogonales**.

2. Producto escalar con \(\mathbf{e}_z\): \[ \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_z = \mathbf{e}_\psi \cdot \mathbf{e}_z = 0. \]

Los vectores \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\mathbf{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.

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