Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)
2 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)
2.1 Relación inicial
La relación entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es: [math] \begin{aligned} x_1 &= 2q \cos \psi, \\ x_2 &= 3q \sin \psi, \\ x_3 &= z. \end{aligned} [/math]
2.2 Campos velocidad
1. **Derivada respecto a \(q\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial q} &= 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} &= 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_q &= (2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]
2. **Derivada respecto a \(\psi\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} &= -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} &= 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_\psi &= (-2q \sin \psi) \mathbf{i} + (3q \cos \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]
3. **Derivada respecto a \(z\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} &= 1, \\ \Rightarrow \gamma'_z &= \mathbf{k}. \end{aligned} [/math]
2.3 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)
Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:
1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]
2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]
3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]
2.4 Vectores tangentes normalizados
Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \mathbf{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \mathbf{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]
1. Para \(\mathbf{e}_q\): [math] \mathbf{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]
2. Para \(\mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \mathbf{i} + (3 \cos \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]
3. Para \(\mathbf{e}_z\): [math] \mathbf{e}_z = \mathbf{k}. [/math]
2.5 Comprobación de ortonormalidad
Calculamos los productos escalares entre los vectores normalizados:
1. Producto escalar \(\mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math] Simplificando: [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{-4 \cos \psi \sin \psi + 9 \cos \psi \sin \psi}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} \neq 0. [/math]
Por lo tanto, \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) **no son ortogonales**.
2. Producto escalar con \(\mathbf{e}_z\): \[ \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_z = \mathbf{e}_\psi \cdot \mathbf{e}_z = 0. \]
Los vectores \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\mathbf{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.
