Coordenadas cilíndricas parabólicas Grupo 6B

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 6B)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Alejandro Flores Guevara Juan Andres Cebrian Gonzalez Elena Losada Santana Gilem Sendín Gallastegi
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por (u, v, z). Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃):

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} [/math]

donde u > 0.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en R² a todo el espacio R³. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

1.1 Código MATLAB y representación

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para γₐ:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math].

• Para γᵥ:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math].

• Para γ_z:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Factores de escala: Los factores de escala h_u, hᵥ, h_z son los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

2.1 Código MATLAB y representación:

Figura 3: Vectores unitarios Eu Ev.

clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de Cambio de Base

Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

• La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

• La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

3.1 1. Relaciones entre coordenadas cartesianas y cilíndricas parabólicas

Las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) y las coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) están relacionadas de la siguiente forma:

\[ x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. \]

3.2 2. Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas \( u, v, z \) son:

\[ h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. \]

3.3 3. La matriz \( Q^{-1} \)

Dado que la matriz \( Q^{-1} \) tiene un factor de \( \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \), la forma correcta de la matriz inversa \( Q^{-1} \) es la siguiente:

\[ Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. \]

3.4 4. El vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \)

El vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \) es:

\[ \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}. \]

3.5 5. Multiplicación de \( Q^{-1} \) por \( \vec{r} \)

Para transformar el vector \( \vec{r} \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \), multiplicamos \( Q^{-1} \) por \( \vec{r} \):

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = Q^{-1} \cdot \vec{r}. \]

Sustituyendo los valores:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}. \]

Realizando la multiplicación:

Para \( r_u \):

\[ r_u = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u \cdot \frac{u^2 - v^2}{2} + v \cdot uv \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( \frac{u^3 - u v^2}{2} + u v^2 \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( \frac{u^3 + u v^2}{2} \right). \]

Para \( r_v \):

\[ r_v = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v \cdot \frac{u^2 - v^2}{2} + u \cdot uv \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v(u^2 - v^2) + u^2 v \right) = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( v u^2 + v^3 \right). \]

Para \( r_z \):

\[ r_z = z. \]

3.6 6. Resultado final

Las coordenadas transformadas en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \) son:

\[ r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. \]

3.7 Conclusión

Las componentes del vector \( \vec{r} \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \) han sido transformadas usando la matriz \( Q^{-1} \) con un factor \( \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \). Si necesitas realizar algún ejemplo numérico o más detalles, ¡avísame!

4 2. Campos velocidad y factores de escala

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para γₐ:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math].

• Para γᵥ:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math].

• Para γ_z:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Factores de escala: Los factores de escala hₐ, hᵥ, h_z son los módulos de los campos velocidad: [math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Visualización: Dibujar con MATLAB las líneas coordenadas γₐ y γᵥ junto con los vectores tangentes en un punto arbitrario.

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4.1 3. Matrices de cambio de base

Matriz de cambio de base: [math] Q = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \end{bmatrix}. [/math]

Matriz inversa: [math] Q^{-1} = Q^\top, \quad \text{ya que la base es ortonormal}. [/math]

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4.1.1 Relación entre coordenadas

La relación entre las coordenadas \((r_u, r_v, r_z)\) y el vector \(\vec{r}\) se puede expresar mediante la multiplicación matricial:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = Q^{-1} \cdot \vec{r}, \]

donde:

- \(Q^{-1}\) es la inversa de la matriz de transformación \(Q\), - \(\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\) son las coordenadas cartesianas.

Expandiendo, se tiene:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & u^2 + v^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}. \]

4.1.2 Desarrollo de las componentes

Al realizar la multiplicación elemento por elemento, se obtiene:

- Para \(r_u\): \[ r_u = \frac{1}{u^2 + v^2} \left( u x_1 + v x_2 \right). \]

- Para \(r_v\): \[ r_v = \frac{1}{u^2 + v^2} \left( -v x_1 + u x_2 \right). \]

- Para \(r_z\): \[ r_z = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot (u^2 + v^2) x_3 = x_3. \]

4.1.3 Resultado final

Por lo tanto, la transformación completa es:

\[ \begin{bmatrix} r_u \\ r_v \\ r_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{u^2 + v^2} \left( u x_1 + v x_2 \right) \\ \frac{1}{u^2 + v^2} \left( -v x_1 + u x_2 \right) \\ x_3 \end{bmatrix}. \]

4.2 4. Campo posición en coordenadas cilíndricas parabólicas

El campo posición se expresa como: [math] \mathbf{r}(u, v, z) = \frac{u^2 - v^2}{2} \mathbf{i} + uv \mathbf{j} + z \mathbf{k}. [/math]

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4.3 5. Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es: [math] \nabla f = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\mathbf{e}_u}{h_u} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\mathbf{e}_v}{h_v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathbf{e}_z}{h_z}. [/math]

Aplicación: calcular el gradiente del campo f(x₁, x₂, x₃) = x₂. 1. Convertir f a coordenadas cilíndricas parabólicas: [math]f(u, v, z) = uv[/math]. 2. Evaluar el gradiente en el punto cartesiano (x₁, x₂, x₃) = (0, 1, 1).

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4.4 6. Divergencia

La divergencia en este sistema es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

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4.5 7. Rotacional

La expresión del rotacional en este sistema es: [math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix}. [/math]

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4.6 8. Superficies de nivel

Las superficies de nivel para los campos escalares son:

• f₁(u, v, z) = u: Superficie parabólica.
• f₂(u, v, z) = v: Superficie parabólica.
• f₃(u, v, z) = z: Plano horizontal.

Visualización: Dibujar cada superficie de nivel en MATLAB y analizar si son superficies regladas.

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4.7 9. Curvatura de una parábola

La parábola es: [math] y = -2x^2 + 2. [/math]

Curvatura: La curvatura es: [math] \kappa(x) = \frac{|y''(x)|}{(1 + (y'(x))^2)^{3/2}}. [/math] Evaluar y graficar κ(x) en MATLAB para x ∈ [-1, 1].

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4.8 10. Uso de la parábola en ingeniería

La parábola tiene múltiples aplicaciones en ingeniería, como:

• Diseño de puentes (arcos parabólicos).
• Antenas parabólicas (reflectores).
• Elementos arquitectónicos.

Añadir imágenes de ejemplos y explicar su uso.