Coordenadas cilíndricas parabólicas Grupo 6B

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 6B)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Alejandro Flores Guevara Juan Andres Cebrian Gonzalez Elena Losada Santana Gilem Sendín Gallastegi
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Archivo:LineasCoordenadas.png

Figura 1: Líneas coordendas.

Figura 1: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por (u, v, z). Su relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃) es:

[math] \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} [/math]

donde u > 0.

Recordad que las coordenadas cilíndricas vistas en clase se pueden ver como la extensión de las coordenadas polares en R² a todo R³, definiendo la variable z como la altura cartesiana x₃. En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas, también se está generalizando un cambio de coordenadas en R² a todo R³, por lo que algunos apartados se restringen al plano x₃ = 0.

2.1 1. Parametrizaciones de las líneas coordenadas γₐ

Ecuaciones en coordenadas cartesianas:

• γₐ:

[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)[/math], con u variable.

• γᵥ:

[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)[/math], con v variable.

• γ_z:

[math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, z \right)[/math], con z variable.

Visualización: Dibujar las curvas en MATLAB en el plano x₃ = 0. Estas curvas corresponden a parábolas en x₁-x₂.

2.2 2. Campos velocidad y factores de escala

Cálculos teóricos:

• Campos velocidad:

[math] \begin{aligned} \gamma'_u &= \left( u, v, 0 \right), \\ \gamma'_v &= \left( -v, u, 0 \right), \\ \gamma'_z &= \left( 0, 0, 1 \right). \end{aligned} [/math]

• Factores de escala:

[math]h_u = \| \gamma'_u \|, \quad h_v = \| \gamma'_v \|, \quad h_z = \| \gamma'_z \|.[/math]

Vectores tangentes: Expresados en la base cartesiana {i, j, k}, los vectores tangentes son: [math] \mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u}, \quad \mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v}, \quad \mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

Visualización: Dibujar en MATLAB los vectores eₐ, eᵥ en el plano, junto con las líneas coordenadas.

2.3 3. Matrices de cambio de base

Matriz de cambio de base (Q) y su inversa (Q⁻¹): [math] Q = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \end{bmatrix}, \quad Q^{-1} = Q^\top. [/math]

2.4 4. Campo posición ⃗r

En coordenadas cilíndricas parabólicas: [math] \mathbf{r}(u, v, z) = \frac{u^2 - v^2}{2} \mathbf{i} + uv \mathbf{j} + z \mathbf{k}. [/math]

2.5 5. Gradiente de un campo escalar

El gradiente en este sistema es: [math] \nabla f = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\mathbf{e}_u}{h_u} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\mathbf{e}_v}{h_v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathbf{e}_z}{h_z}. [/math]

Aplicación al campo f(x₁, x₂, x₃) = x₂:

1. Convertir f a coordenadas cilíndricas parabólicas.
2. Calcular ∇f en el punto dado.

2.6 6. Divergencia

La expresión general es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Cálculo de la divergencia del campo posición r.

2.7 7. Rotacional

La expresión general es: [math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} \mathbf{e}_u & \mathbf{e}_v & \mathbf{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix}. [/math]

2.8 8. Superficies de nivel

Las superficies son:

• f₁(u, v, z) = u: Parábolas.
• f₂(u, v, z) = v: Parábolas.
• f₃(u, v, z) = z: Planos horizontales.

Visualización: Dibujar las superficies en MATLAB. Verificar si son superficies regladas.

2.9 9. Curvatura de una parábola

La parábola es: [math] y = -2x^2 + 2. [/math]

Calcular su curvatura κ(t) y graficar en MATLAB.

2.10 10. Uso de la parábola en ingeniería

Buscar ejemplos y añadir imágenes de construcciones (puentes, antenas parabólicas, etc.).