Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos las denominadas coordenadas cilíndricas elípticas. Estas se denotan por \((q, \psi, z)\). Su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

\begin{cases} x_1 = a q \cos \psi, \\ x_2 = b q \sin \psi, \\ x_3 = z, \end{cases}

donde \(a, b\) son dos constantes positivas fijadas. Observad que para \(a = b = 1\), las coordenadas \((q, \psi, z)\) coinciden con las coordenadas cilíndricas \((\rho, \theta, z)\) vistas en clase. A lo largo de todo este trabajo vamos a suponer que: \[ a = 2, \quad b = 3. \]

Recordad que las coordenadas cilíndricas vistas en clase se pueden ver como la extensión de las coordenadas polares en \(\mathbb{R}^2\) a todo \(\mathbb{R}^3\) definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\). En el caso de las coordenadas cilíndricas parabólicas también se está generalizando un cambio de coordenadas en \(\mathbb{R}^2\) a todo \(\mathbb{R}^3\), por eso algunos apartados se restringen al plano \(x_3 = 0\).

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\)

Figura 1: Líneas coordendas.

% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100);  % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % rango de psi
z = 0;  % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15)  % 15 líneas coordenadas gamma_q
    x = 2*q .* cos(psi_val);
    y = 3*q .* sin(psi_val);
    plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);  % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7)  %7 líneas coordenadas gamma_psi
    x = 2*q_val * cos(psi);
    y = 3*q_val * sin(psi);
    plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);  %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;

3 Cálculo teórico de \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)

3.1 Relación inicial

La relación entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q, \psi, z)\) y las cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es: [math] \begin{aligned} x_1 &= 2q \cos \psi, \\ x_2 &= 3q \sin \psi, \\ x_3 &= z. \end{aligned} [/math]

3.2 Campos velocidad

1. **Derivada respecto a \(q\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial q} &= 2 \cos \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial q} &= 3 \sin \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial q} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_q &= (2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]

2. **Derivada respecto a \(\psi\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial \psi} &= -2q \sin \psi, \\ \frac{\partial x_2}{\partial \psi} &= 3q \cos \psi, \\ \frac{\partial x_3}{\partial \psi} &= 0, \\ \Rightarrow \gamma'_\psi &= (-2q \sin \psi) \mathbf{i} + (3q \cos \psi) \mathbf{j}. \end{aligned} [/math]

3. **Derivada respecto a \(z\):** [math] \begin{aligned} \frac{\partial x_1}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} &= 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} &= 1, \\ \Rightarrow \gamma'_z &= \mathbf{k}. \end{aligned} [/math]

3.3 Factores de escala \(h_q\), \(h_\psi\), \(h_z\)

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para \(\gamma'_q\): [math] h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}. [/math]

2. Para \(\gamma'_\psi\): [math] h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}. [/math]

3. Para \(\gamma'_z\): [math] h_z = |\gamma'_z| = 1. [/math]

3.4 Vectores tangentes normalizados

Los vectores tangentes normalizados se calculan como: [math] \mathbf{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \mathbf{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}. [/math]

1. Para \(\mathbf{e}_q\): [math] \mathbf{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \mathbf{i} + (3 \sin \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}. [/math]

2. Para \(\mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \mathbf{i} + (3 \cos \psi) \mathbf{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math]

3. Para \(\mathbf{e}_z\): [math] \mathbf{e}_z = \mathbf{k}. [/math]

3.5 Comprobación de ortonormalidad

Calculamos los productos escalares entre los vectores normalizados:

1. Producto escalar \(\mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi\): [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}. [/math] Simplificando: [math] \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_\psi = \frac{-4 \cos \psi \sin \psi + 9 \cos \psi \sin \psi}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}} \neq 0. [/math]

Por lo tanto, \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) **no son ortogonales**.

2. Producto escalar con \(\mathbf{e}_z\): \[ \mathbf{e}_q \cdot \mathbf{e}_z = \mathbf{e}_\psi \cdot \mathbf{e}_z = 0. \]

Los vectores \(\mathbf{e}_q\) y \(\mathbf{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\mathbf{e}_z\), pero no son ortogonales entre sí.