Modelo Lokta-Volterra Prey-Predator. Grupo 6
1 1 INTERPRETACION DEL MODELO
El modelo Lokta-Volterra,asumiendo las hipótesis dadas en el ejercicio, expresa: Sin zorros, los conejos se reproducen siguiendo el modelo de Maltus, por lo que su tasa de crecimiento es proporcional a su tamaño.
Maltus: R'(t) = aR(t)
Sin conejos que comer, la población de zorros disminuye proporcionalmente a su tamaño.
F'(t)=-bF(t)
La tasa a la cual los conejos son comidos por zorros es proporcional a la tasa de interacción entre zorros y conejos.
R'(t)=-cF(t)R(t)
La tasa por la cual los zorros nacen es proporcional a la tasa por la cual los conejos son comidos.
F'(t)= dF(t)R(t)
Por lo tanto, este modelo nos da el ritmo de crecimiento de las poblaciones de los depredadores y las presas (conejos y zorros) dado el número de miembros de cada una. El sistema que resulta es:
1.1 Ecuaciones:
dR/dt= aR - cFR
dF/dt= -bF + dFR
En estas ecuaciones los parámetros tienen los siguientes significados:
- a: el factor proporcional relacionado con el ritmo de reproducción de los conejos cuando no hay zorros
- b: es el factor con el que los zorros decrecen a un ritmo proporcional a su tamaño sin conejos que comer.
- c: es la proporción a la cual las interacciones entre zorros y conejos hacen decrecer a la población de los conejos.
- d: es el factor proporcional que maneja el ritmo al cual los zorros nacen. Este ritmo es proporcional al ritmo al que los conejos son comidos por los zorros.
2 2 LOKTA-VOLTERRA SEGUN EULER
Para una población de conejos y zorros ( R(t) y F(t)), particularizamos los parámetros arriba indicados (a=0.4, b=0.37, c=0.3, d=0.05) y consideramos que en un tiempo tЄ[0,100] tenemos una población de 3000 conejos y de 1000 zorros, resolvemos el sistema según el siguiente código MATLAB:
% Z es la variable y su primer elemento sera R y el segundo F%
a=0.4,b=0.37,c=0.3,d=0.05;
t=0;
i=1;
z=[3;1];
f1(i)=Z(1),f2(i)=Z(2);
x(i)=t;
h=0.01;
while t<100
i=i+1;
D=Z;
t=t+h;
F=[a*Z(1)-c*Z(1)*Z(2),d*Z(1)*D(2)-b*Z(2)];
p=h*F
X=t;
Z=D+h*F;
f1(i)=Z(1),f2(i)=Z(2);
x(i)=t;
end
figure(1)
hold on
plot(x;f1,'b',x,f2,'r')
figure(2)
hold on
plot(fi,f2,'g')
hold off
