Ecuación de ondas (Raúl, Sofía, Jaime)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de ondas
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Raúl Ortega Sofía Gómez Jaime Sáenz de Miera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo vamos a estudiar la ecuación de ondas mediante el estudio del movimiento de una cuerda. Para ello, vamos a ver cómo varía la solución en función de las condiciones iniciales...

1 Ecuación de ondas

Vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo [0,1], con densidad d y tensión [math] \tau _0[/math] constante, tal que la velocidad de propagación es: [math] c=\frac{\tau_0}{d}=1[/math]. Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos con [math] u_0(x)[/math] y [math] u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Teniendo todo esto en cuenta y la ecuación de ondas, obtenemos el siguiente sistema:

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0,\\ u(0,t)=u(1,t)=0,\\ u(x,0)=u_0(x),\\ u_t(x,0)=u_1(x). \end{cases} [/math]

Donde [math]u(x)[/math] representa la posición de cada punto de la cuerda en cada momento.

1.1 Resolución

Para resolver este sistema, vamos a utilizar el método de separación de variables, el cual consiste en suponer que [math] u(x,t)=T(t)X(x)[/math], lo cual nos da lugar a resolver dos problemas por separado, uno que depende de t y otro que depende de x. Al hacer esto, obtenemos la siguiente solución:

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k sin(k\pi x) cos(k \pi t) + b_k sin(k \pi x) sin(k \pi t), [/math]

siendo [math] a_k=\frac{\int_0^1 sin(k\pi x)u_0(x)dx}{\int_0^1 sin^2(k \pi x)dx}[/math] y [math] b_k=\frac{1}{k\pi}\frac{\int_0^1 sin(k\pi x)u_1(x)dx}{\int_0^1 sin^2(k \pi x)dx}[/math]

Ahora, para entender mejor esta solución, vamos a tomar como datos iniciales [math]u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math] y [math] u_1(x)=0[/math], lo cual nos da que la solución se expresa de la siguiente manera:

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k sin(k\pi x) cos(k \pi t) .[/math]

Para representarla vamos a calcular las integrales necesarias para obtener los [math] a_k [/math] mediante el método del trapecio y a dibujar los primeros 50 términos de la serie.

Video de la evolución de la solución en el intervalo de tiempo [0,2]

Video de la evolución de la solución en el intervalo de tiempo [0,4]

%Definimos las funciones
u0=@(x) exp(-100*(x-0.5).^2); %Condición inicial
uk=@(x,t,k) sin(k.*pi.*x).*cos(k*pi.*t); %Solución del problema

%Aplicamos la regla del trapecio
a=0; b=1; %Extremos del intervalo                 
x=linspace(a,b,100); %Vector de espacio
t=linspace(a,2,100); %Vector de tiempo
N=length(x)-1; %Número de puntos
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos             
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
f_n=zeros(length(x),length(t));

%Suma de los 10 primeros términos en todo el vector de tiempo
for i=1:length(t)
    for k=1:50
        g=u0(x)*sin(k*pi*x)'; 
        a_k=2*h*w'*g; %Resultado de la regla del trapecio (c_k)
        f_n(i,:)= f_n(i,:)+a_k.*uk(x,t(i),k);
    end
end

%Hacemos un video representando la solución para distintos tiempos
pelicula=VideoWriter("cuerda",'MPEG-4');
pelicula.FrameRate=10;
open(pelicula)
for i=1:length(t)
    f=f_n(i,:);
    figura=figure(1);
    plot(x,f,color='b',LineWidth=1.5)
    title(['t = ' num2str(t(i))]);
    axis([0 1 -1 1])
    imagen=getframe(figura);
    writeVideo(pelicula,imagen);
end
close(pelicula)

Vemos que los extremos de la cuerda se mantienen siempre en cero, por lo que la solución satisface las condiciones frontera en todo momento. Además la cuerda empieza dividiéndose en dos y cada parte viaja hacia un lado. Cuando estas partes llegan al final del intervalo se reflejan y cambian el sentido de su desplazamiento.

Ahora si observamos la solución en un intervalo de tiempo más largo [math]t\in[0,4][/math] vemos que la solución hace el mismo recorrido dos veces por lo que podemos concluir que la solución es periódica de periodo 2.

1.2 Onda que viaja en un solo sentido

En este caso tomamos como condiciones iniciales: [math]u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math] y [math] u_1(x)=200(x-\frac{1}{2})e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math] que es la derivada de [math]u_0(x)[/math] cambiada de signo. Al igual que en el caso anterior para representarlo vamos a realizar las integrales correspondientes para calcular los coeficientes de la solución mediante el método del trapecio y a representar los primeros 50 términos.

Video de la evolución de la solución a lo largo del tiempo

%Definimos las funciones
u0=@(x) exp(-100*(x-0.5).^2); %Condición inicial 
u1=@(x) -(100-200.*x).*exp(-100*(x-0.5).^2); %Impulso inicial
uk_cos=@(x,t,k) sin(k.*pi.*x).*cos(k*pi.*t); %Primera parte de la solución del problema
uk_sen=@(x,t,k) sin(k.*pi.*x).*sin(k*pi.*t); %Segunda parte de la solución del problema

%Aplicamos la regla del trapecio
a=0; b=1; %Extremos del intervalo                 
x=linspace(a,b,100); %Vector de espacio
t=linspace(a,2,100); %Vector de tiempo
N=length(x)-1; %Número de puntos
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1); %Vector de pesos             
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
f_n=zeros(length(x),length(t));

%Suma de los 10 primeros términos en todo el vector de tiempo
for i=1:length(t)
    for k=1:50
        g1=u0(x)*sin(k*pi*x)'; 
        g2=-u1(x)*sin(k*pi*x)'/(k*pi);
        a_k=2*h*w'*g1; %Resultado de la regla del trapecio (c_k)
        b_k=2*h*w'*g2;
        f_n(i,:)= f_n(i,:)+a_k.*uk_cos(x,t(i),k)+b_k.*uk_sen(x,t(i),k);
    end
end

%Hacemos un video representando la solución para distintos tiempos
pelicula=VideoWriter("cuerda",'MPEG-4');
pelicula.FrameRate=10;
open(pelicula)
for i=1:length(t)
    f=f_n(i,:);
    figura=figure(1);
    plot(x,f)
    axis([0 1 -2 2])
    imagen=getframe(figura);
    writeVideo(pelicula,imagen);
end
close(pelicula)

En este caso vemos que efectivamente la cuerda viaja en un solo sentido y sigue manteniendo los extremos fijos en cero. Además, como el intervalo en el que viaja la cuerda tiene longitud uno y lo recorre dos veces en el intervalo de tiempo [math][0,2][/math], podemos deducir que la velocidad a la que viaja la curva es 1. Esto coincide con la constante [math]c[/math] que hemos elegido la cual representa esta velocidad.

También podemos ver que cuando la cuerda llega a un extremo sigue el mismo comportamiento que en el caso anterior, se refleja y cambia de sentido pero manteniendo la misma velocidad.