Ecuación de ondas (Raúl, Sofía, Jaime)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de ondas
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Raúl Ortega Sofía Gómez Jaime Sáenz de Miera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Ecuación de ondas

Vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo [0,1], con densidad d y tensión [math] \tau _0[/math] constante, tal que la velocidad de propagación es: [math] c=\frac{\tau_0}{d}=1[/math]. Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos con [math] u_0(x)[/math] y [math] u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Teniendo todo esto en cuenta y la ecuación de ondas, obtenemos el siguiente sistema:

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0, u(0,t)=u(1,t)=0, u(x,0)=u_0(x), u_t(x,0)=u_1(x). \end{cases} [/math]

Donde [math]u(x)[/math] representa la posición de cada punto de la cuerda en cada momento.

1.1 Separación de variables

Para resolver este sistema, vamos a utilizar el método de separación de variables, el cual consiste en suponer que [math] u(x,t)=T(t)X(x)[/math], lo cual nos da lugar a resolver dos problemas por separado, uno que depende de t y otro que depende de x. Al hacer esto, obtenemos la siguiente solución:

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty a_k sin(k\pi x) cos(k \pi t) + b_k sin(k \pi x) sin(k \pi t) [/math],

siendo [math] a_k=\frac{\int_0^1 sin(k\pi x)u_0(x)dx}{\int_0^1 sin^2(k \pi x)dx}[/math] y [math] b_k=\frac{1}{k\pi}\frac{\int_0^1 sin(k\pi x)u_1(x)dx}{\int_0^1 sin^2(k \pi x)dx}[/math]

Ahora, tomamos como datos iniciales [math]u_0(x)=e^{-100(x-frac{1}{2})^2}[/math] y [math] u_1(x)=0[/math] y vamos a dibujar la solución con los primeros 50 términos de la serie.