Ecuación de Ondas

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Planteamiento del problema

El problema que estás describiendo corresponde a la ecuación de ondas, la cual modela la vibración de una cuerda fija en los extremos. Vamos a plantear el sistema de ecuaciones correspondiente, describiendo cada término.

1.1 Ecuación de ondas

La ecuación de ondas en una dimensión, con una cuerda de densidad \(d\) y tensión \(\tau_0\), donde la velocidad de propagación es \(c = \sqrt{\tau_0/d}\), se escribe como:

[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]

Dado que en este caso \(c = 1\), la ecuación se simplifica a:

[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]

1.2 Condiciones de frontera

Dado que la cuerda está fija en los extremos, tenemos:

[math] u(0, t) = 0 [/math]

[math] u(1, t) = 0 [/math]

Estas condiciones indican que la posición de la cuerda en los puntos \(x = 0\) y \(x = 1\) siempre es cero, es decir, la cuerda no se mueve en los extremos.

1.3 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales especifican la posición y la velocidad inicial de la cuerda:

Posición inicial:

[math] u(x, 0) = u_0(x) [/math]

Esto describe la forma inicial de la cuerda en \(t = 0\).

Velocidad inicial:

[math] \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) [/math]

Esto describe la velocidad inicial de cada punto de la cuerda en \(t = 0\).

1.4 Descripción de cada término

• \(u(x,t)\): Desplazamiento de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
• \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\): Aceleración de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
• \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\): Curvatura de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
• \(u_0(x)\): Desplazamiento inicial de la cuerda en la posición \(x\).
• \(u_1(x)\): Velocidad inicial de la cuerda en la posición \(x\).

De esta forma se puede escribir el siguiente sistema que recoge toda la información mencionada anteriormente:

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x) \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]

2 Modelización de los desplazamientos transversales de la cuerda

Para resolver la ecuación de ondas utilizando el método de separación de variables y expresar la solución en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales, se siguen los siguientes pasos:

1. Plantear la solución mediante separación de variables:

Asumimos una solución de la forma \( u(x,t) = X(x)T(t) \). Sustituyendo en la ecuación de ondas \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \) y dividiendo por \( X(x)T(t) \), obtenemos:

[math] \frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda [/math]

Esto nos lleva a dos ecuaciones ordinarias:

[math] X''(x) + \lambda X(x) = 0 [/math]

[math] T''(t) + \lambda T(t) = 0 [/math]

2. Resolver las ecuaciones ordinarias:

La solución de \( X(x) \) depende del valor de \( \lambda \). Considerando las condiciones de frontera \( X(0) = 0 \) y \( X(1) = 0 \), obtenemos que:

[math] X_n(x) = \sin(n\pi x) [/math]

con \( \lambda_n = (n\pi)^2 \) y \( n = 1, 2, 3, \ldots \).

Para \( T(t) \), la solución es:

[math] T_n(t) = A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t) [/math]

3. Construir la solución general:

La solución general es la suma de todas las soluciones particulares:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t) \right] \sin(n\pi x) [/math]

4. Determinar los coeficientes \( A_n \) y \( B_n \) usando las condiciones iniciales:

Dado \( u(x,0) = u_0(x) \) y \( \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = u_1(x) \), tenemos:

[math] u_0(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\pi x) [/math]

[math] u_1(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\pi B_n \sin(n\pi x) [/math]

Los coeficientes de Fourier \( A_n \) y \( B_n \) se determinan como:

[math] A_n = 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n\pi x) \, dx [/math]

[math] B_n = \frac{2}{n\pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n\pi x) \, dx [/math]

5. Expresar la solución final:

Sustituimos los coeficientes en la solución general:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n\pi x) \, dx \right) \cos(n\pi t) + \left( \frac{2}{n\pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n\pi x) \, dx \right) \sin(n\pi t) \right] \sin(n\pi x) [/math]

3 Particularización del sistema de ecuación de ondas a unos datos iniciales dados

Simplemente se ha sustituido los valores iniciales en el sistema que se dio anteriormente:

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t) = 0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) = e^{-100(x - 1/2)^2}, \\ &u_t(x, 0) = 0, \end{aligned} \right. [/math]

de forma que la serie de la cual se deben representar y mostrar sus 50 primeros términos se mostrará a continuación.

3.1 Determinar los coeficientes A_n y B_n usando las condiciones iniciales

Dado \( u_0(x) = e^{-100(x - 1/2)^2} \) y \( u_1(x) = 0 \):

\[ A_n = 2 \int_0^1 e^{-100(x - 1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx \] \[ B_n = 0 \]

3.2 Expresar la solución final

\[ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( 2 \int_0^1 e^{-100(x - 1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx \right) \cos(n\pi t) \sin(n\pi x) \]

Para graficar la solución en el intervalo de tiempo \( t \in [0,2] \), tomaremos los primeros 50 términos de la serie. Aquí tienes el código en Python que puedes usar para dibujar la solución: