Ecuación de ondas. Otelo, Yan y Mika

1 Ecuación de ondas I

La idea principal de este artículo será dibujar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión. Para ello, nos basaremos en el enunciado descrito a continuación.

1.1 Planteamiento del problema

Se considera una cuerda vibrante que ocupa el intervalo [math] [0, 1] [/math] con densidad [math] d [/math] y tensión [math] \tau_0 [/math] constante de manera que la velocidad de propagación es [math] c = \tau_0/d = 1 [/math] . Supondremos además que la cuerda está fija en los extremos. Llamaremos [math] u_0(x) [/math] y [math] u_1(x) [/math] su posición e impulso iniciales. respectivamente.

Lo primero que haremos, será escribir el sistema de EDPS que modeliza el comportamiento de los desplazamiento transversales de la cuerda. Esto es:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}-u_{xx}=0, \hspace{6mm} t\gt 0, x\in [0,1], \\ u(0,t)=u(1,t)=0, \hspace{6mm} t\gt0, \\ u(x,0)=u_0(x), \hspace{3mm} u_t(x,0)=u_1(x) \hspace{6mm} x\in [0,1]. \\ \end{array} \right. [/math]

Cuya solución encontrada gracias al método de separación de las variables, el principio de superposición y las condiciones iniciales es

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty [\frac{1}{k\pi}u_{1,k}sen(k\pi t)+u_{0,k}cos(k\pi t)]sen(k\pi x) [/math]

2 Ecuación de ondas II

En este apartado dibujaremos la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3, lo que nos servirá para interpretar el principio de Huygens.

La solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en [math] x=0 [/math]. Matemáticamente resuelve el sistema

[math] \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}-c^2\Delta u=0, \hspace{6mm} t\gt 0, x\in \mathbb{R}^n, \\ u(x,0)=u_0(x), \hspace{3mm} u_t(x,0)=\delta (x) \hspace{6mm} x\in \mathbb{R}^n . \\ \end{array} \right. [/math]

Donde [math] \delta (x) [/math] es la delta de Dirac. Formalmente, se define como el siguiente límite

[math] \delta (x) = \lim_{r\to 0} \frac{1}{|B(0,r)|}\chi_{B(0,r)}(x) \sim \left\{ \begin{array}{ll} \infty \hspace{4mm} x=0,\\ 0 \hspace{4mm} x\neq 0,\\ \end{array} \right. [/math]

Donde [math] \chi_{B(0,r)}(x) [/math] es la función característica de la bola centrada en [math] 0 [/math] de radio [math] r [/math] y [math] |B(0,r)| [/math] es el volumen de la bola.

Su expresión es:

1. En dimensión [math] n=1 [/math]:

[math] K_1(x,t)=\frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], [/math]

Donde [math] H(s)= \left\{ \begin{array}{ll} 0 \hspace{4mm} si \hspace{2mm}x\lt0,\\ 1 \hspace{4mm} si \hspace{2mm} x\geq 0,\\ \end{array} \right.[/math] es la función de Heaviside.

2. En dimensión [math] n=2 [/math]:

[math] K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c\sqrt{c^2t^2-|x|^2}}\chi_{B(0,ct)}(x), [/math]

donde [math] \chi_{B(0,ct)}(x), [/math] es la función característica de la bola de centro 0 y radio [math] ct [/math].

3. En dimensión [math] n=3 [/math]:

[math] K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pi c |x| }, \hspace{2mm} t\gt0. [/math]