Ecuación de ondas. Otelo, Yan y Mika

1 Ecuación de ondas I

La idea principal de este artículo será dibujar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión. Para ello, nos basaremos en el enunciado descrito a continuación.

1.1 Planteamiento del problema

Se considera una cuerda vibrante que ocupa el intervalo [math] [0, 1] [/math] con densidad [math] d [/math] y tensión [math] \tau_0 [/math] constante de manera que la velocidad de propagación es [math] c = \tau_0/d = 1 [/math] . Supondremos además que la cuerda está fija en los extremos. Llamaremos [math] u_0(x) [/math] y [math] u_1(x) [/math] su posición e impulso iniciales. respectivamente.

Lo primero que haremos, será escribir el sistema de EDPS que modeliza el comportamiento de los desplazamiento transversales de la cuerda. Esto es:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}-u_{xx}=0, \hspace{6mm} t\gt 0, x\in [0,1], \\ u(0,t)=u(1,t)=0, \hspace{6mm} t\gt0, \\ u(x,0)=u_0(x), \hspace{3mm} u_t(x,0)=u_1(x) \hspace{6mm} x\in [0,1]. \\ \end{array} \right. [/math]

Cuya solución encontrada gracias al método de separación de las variables, el principio de superposición y las condiciones iniciales es

[math] u(x,t)=\sum_{k=1}^\infty [\frac{1}{k\pi}u_{1,k}sen(k\pi t)+u_{0,k}cos(k\pi t)]sen(k\pi x) [/math]

2 Ecuación de ondas II

En este apartado dibujaremos la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3, lo que nos servirá para interpretar el principio de Huygens.

La solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en [math] x=0 [/math]. Matemáticamente resuelve el sistema

[math] \left\{ \begin{array}{ll} u_{tt}-c^2\Delta u=0, \hspace{6mm} t\gt 0, x\in \mathbb{R}^n, \\ u(x,0)=u_0(x), \hspace{3mm} u_t(x,0)=\delta (x) \hspace{6mm} x\in \mathbb{R}^n . \\ \end{array} \right. [/math]