Ecuación de ondas
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Ondas. Grupo ALA |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Lucía Amores, Aitana Guill y Andrea Navarro |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Modelización de los desplazamientos transversales
Para modelar el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda vibrante, utilizamos la ecuación de ondas en una dimensión. Dado que la cuerda está fija en los extremos y tiene una densidad [math] d [/math] y tensión constante [math] \tau_0 [/math] de manera que la velocidad de propagación es [math] c = \sqrt{\tau_0/d} = 1 [/math], la ecuación de ondas se simplifica.
La ecuación de ondas en una dimensión para los desplazamientos transversales [math] u(x,t) [/math] de la cuerda es:
[math]\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]
Dado que [math] c = 1 [/math], la ecuación se reduce a:
[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]
Esta ecuación diferencial parcial (EDP) debe acompañarse de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales para estar completamente especificada.
2.1 Condiciones de contorno
Dado que la cuerda está fija en los extremos, las condiciones de contorno son: [math] u(0, t) = 0 [/math] [math] u(1, t) = 0 [/math]
2.2 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales especifican la posición inicial de la cuerda [math] u_0(x) [/math] y su velocidad inicial o impulso [math] u_1(x) [/math]: [math]u(x, 0) = u_0(x) [/math] [math] \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) [/math]
2.3 Sistema de EDP
Juntando la ecuación de ondas con las condiciones de contorno e iniciales, el sistema completo que modela el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda es:
[math] \begin{cases} \centering \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & 0 \lt x \lt 1, \ t \gt 0 \\ u(0, t) = 0, & t \geq 0 \\ u(1, t) = 0, & t \geq 0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x), & 0 \leq x \leq 1 \end{cases} [/math]
Este sistema describe completamente la evolución temporal de los desplazamientos transversales de una cuerda vibrante con los extremos fijos, dada su posición e impulso iniciales.
