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1 Ecuación de Poisson

En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por [math] \Delta u = f [/math] siendo [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math]y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math]. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3.

Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por [math] \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) [/math] si n=2 y [math] \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } [/math] si n=3.

1.1 Potencial newtoniano para [math] \mathbb{R}^3[/math]

Supongamos que [math] f(x) [/math] representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional [math] \mathbb{R}^3[/math].

Entonces, la expresión [math] \phi(x-y)f(y)dy[/math] denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión:

[math] u(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{y}) \phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) d\mathbf{y} [/math]

Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero.

A su vez, sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^3)[/math] con soporte compacto. Sea [math]u[/math] el potencial newtoniano de [math]f[/math], definido por el potencial Newtoniano. Entonces, [math]u[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^3[/math] de [math]\Delta u = -f[/math] que pertenece a [math]C^2(\mathbb{R}^3)[/math] y se anula en el infinito. Es decir, dado:

[math] \begin{cases} \Delta u = -f \\ u(x) \rightarrow 0 & \text{si } |x| \rightarrow \infty \end{cases}[/math]

su solución viene dada por el potencial newtoniano que se presenta anteriormente.

1.2 Potencial logarítmico para [math] \mathbb{R}^2[/math]

Si el problema se presenta en [math] \mathbb{R}^2[/math] el potencial newtoniano se sustituye por el potencial logarítimico:

[math] u(\mathbf{x}) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} log|\mathbf{x} - \mathbf{y}|f(\mathbf{y}) d\mathbf{y} [/math]

De esta manera, Sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^2)[/math] con soporte compacto, [math]u(\mathbf{x})[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^2[/math] de:

[math] \begin{cases} \Delta u = -f \\ u(x)=-\frac{M}{2\pi} log |x| + O\left(\frac{1}{|x|} \right) & \text{si } |x| \rightarrow \infty \end{cases}[/math] donde [math] M= \int _{\mathbb{R}^2} f(\mathbf y) d\mathbf y[/math].

1.3 Ejemplo

A continuación, veremos un ejemplo de lo explicado anteriormente para una correcta comprensión de ello. De esta manera, mediante el potencial logarítmico se aproximará la ecuación de Poisson cuando f sea la función característica de la bola de radio 1 y se estudiará su comportamiento en el infinito.

Para resolver este ejemplo se ha realizado un código en Matlab. La integral se ha simplificado de la siguiente manera:

[math] -\frac{1}{2\pi}\int_{\partial B_1 0} log|\mathbf{x} - \mathbf{y}| d\mathbf{y} = -\frac{\pi}{4}\frac{1}{2\pi}\int_{-1} ^1 \int_{-1} ^1 log|\mathbf{x} - \mathbf{y}| dx dy [/math]

%aSe divide el dominio de cada variable en 200 puntos. Para y1 e y2 se coge
%el intervalo [-1,1] pues cuando este fuera de este intervalo la función vale 0 y por tanto la integral se anulará y para x1 y x2 se coge un intervalo muy grande pues la función tiene dominio todo R2.
i1 = linspace(-1,1,200);
i2 = linspace(-1,1,200);
i3 = linspace(-10^4,10^4,200);
i4 = linspace(-10^4,10^4,200);

% Se define la función f anteriormente obtenida
f = @(y1, y2, x1, x2) -(pi/4)*(1/(2*pi))*log(sqrt((y1-x1).^2 + (y2-x2).^2));

% Generamos una malla de puntos
[A, B] = meshgrid(i1, i2);
[C, D] = meshgrid(i3,i4);

%Creamos una matriz cero donde se irán metiendo los valores que
%próximamente evaluaremos
values = zeros(size(A)); 

% Se crea el siguiente bucle para obtener los valores que necesitamos para
% la representación gráfica
for i = 1:length(i1)
    for j = 1:length(i2)
        fnum = @(x, y) f(x, y, i3(i), i4(j)); % Se crea este bucle para ir evaluando f en los distintos puntos (x1,x2)
        values(i, j) = trapz(i2, trapz(i1, fnum(A, B), 2)); % Evaluar fnum en la malla (A, B) y calcular la integral por el método del trapecio
    end
end

% Se dibujan todos los puntos obtenidos
surf(C,D,values)