Ecuaciones de Laplace y de Poisson

1 Introducción

En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.

CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS

2 Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,

[math] \Delta u = 0 [/math]

con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in \Omega \\ u = g, & \text{x} \in \partial \Omega \end{cases}[/math]

A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.

2.1 Ejemplo bola unidad

Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en el origen. Planteamos el problema,

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_1 \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.

3 Calcular la solución de la ecuación de Laplace en el plano

Dentro de la resolución del problema planteado existen varios métodos por los que proceder. En este trabajo estudiaremos dos: la fórmula de Poisson y la serie de Fourier.

3.1 Solución por la fórmula de Poisson

Encontrar la solución del problema mediante la fórmula de Poisson viene determinado por el siguiente teorema.

3.1.1 Teorema

La solución [math] u \in C^2(B_R \cup C(\overline{B_R}) [/math]del problema [math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_R \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_R \end{cases}[/math] donde [math]g[/math] es una función continua viene dado por la fórmula de Poisson [math] u(\vec{x})=\frac{R^2-|\vec{x}|^2}{w_n R}\int_{\partial B_R}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}-\sigma|^2} d\sigma. [/math]

Es importante destacar que el denominador [math]|\vec{x}-\sigma|^2 [/math] se anula en la frontera de la bola llevándonos a una indeterminación y haciendo que la integral diverja. Esto también pasa si expresamos la fórmula en coordenadas polares [math](r, \theta)[/math]. Tomando,

[math]\vec{x} = (x_1, x_2) = (rcos(\theta), rsen(\theta)) [/math] [math] g(rcos(\theta), rsen(\theta)) = G(\theta)[/math]

llegamos a la fórmula de Poisson,

[math] U(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi R}\int_{0}^{2\pi}\frac{g(s)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-s)} ds. [/math]

En este caso, el denominador de la integral también se anula para puntos cercanos a la frontera, concretamente cuando el coseno se hace 1.

Veamos todo esto aplicado a la bola unidad pasado a coordenadas polares,

[math] \begin{cases} U_{rr} + \frac{1}{r} U_r + \frac{1}{r^2} U_{\theta\theta} = 0, & (r, \theta) \in B_1 \\ U(1, \theta) = G(\theta), & (r, \theta) \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

Para la resolución de este problema vamos a tomar [math]G(\theta) = máx\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\}[/math] y utilizaremos la fórmula de Poisson en polares tomando [math]R = 1[/math]. Como hemos visto antes, la fórmula da problemas para puntos cercanos al borde. Esto lleva a una representación irregular de la frontera si dibujamos la solución sin tener en cuenta este problema.

FOTO SIN LA CONDICIÓN FRONTERA

Es por esto por lo que la condición frontera no es prescindible en el problema. Para estimar [math] U(r,\theta)[/math], utilizaremos la fórmula de Poisson para puntos ligeramente alejados del borde, y en el propio borde utilizaremos la condición frontera [math]U(R, \theta) = G(\theta)[/math].

FOTO CON LA CONDICION FRONTERA

En esta nueva gráfica podemos apreciar como la frontera no presenta las irregularidades anteriores. Para conseguir estas gráficas hemos implementado el siguiente código en MatLab.

CÓDICO

3.1.2 Errores de la fórmula de Poisson

Como hemos observado anteriormente, la fórmula de Poisson presenta ciertas dificultades a la hora de aproximar la solución en la frontera, debido a la singularidad inherente de la integral. En este apartado examinaremos estas irregularidades calculando el error de la aproximación frente a la solución exacta.

Volviendo al ejemplo de la bola unidad, esta vez vamos a suponer el problema,

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_1 \\ u = g(x,y) = xy, & \text{x} \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

que tiene como solución exacta la función armónica [math]u(x,y) = xy[/math]. Tal y como hemos hecho en el apartado anterior, calculamos la solución aproximada utilizando la fórmula de Poisson, la fórmula del trapecio y pasando a coordenadas polares.

[math] \begin{cases} U_{rr} + \frac{1}{r} U_r + \frac{1}{r^2} U_{\theta\theta} = 0, & (r, \theta) \in B_1 \\ U(1,\theta)=G(\theta)=\cos(\theta)\sin(\theta), & (r, \theta) \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

Vamos a distinguir entre dos tipos de puntos, aquellos que estén "alejados" de la frontera y aquellos sean inmediatos a esta. Intuitivamente, podemos predecir que el error de la solución aproximada será mayor en aquellos puntos que están cerca de la frontera. Veamos que esto es así.

Primero estudiaremos el error en puntos "alejados" de la frontera. Esto lo hacemos empleando distintas discretizaciones con [math] 10^n [/math] puntos en la fórmula del trapecio. Después, calculamos el error para cada discretización en un punto alejado, en este caso lo hacemos evaluando en [math]x = (r,\theta)=(0.9,\pi/4)[/math]. Posteriormente graficamos el error aplicando la fórmula,

[math]f(n):=\log_{10}(Error(10^n)), [/math].

Obteniendo así la siguiente gráfica.

GRAFICA DEL PUNTO ALEJADO DE LA FRONTERA

Los resultados de esta gráfica cuadran con nuestra intuición, a mayor número de puntos menor es el error que se comete. Además podemos apreciar que el error se acab estabilizando al rededor de [math]10^{-15}[/math]. Luego podemos concluir que la fórmula de Poisson proporciona una buena aproximación para puntos relativamente alejados de la frontera.

Estudiemos ahora el error cometido en puntos "cercanos" a la frontera. En este caso vamos utilizar una única discretización de 100 puntos de la fórmula del trapecio y puntos que cada vez se acercan más a la frontera. Partiendo del punto [math]x = (r,\theta)=(0.9,\pi/4)[/math] vamos a ir avanzando hacia la frontera con puntos de la forma [math](r,\theta)=(1-10^{-n}, \pi/4)[/math]. La gráfica entonces resulta ser:

GRÁFICA DEL PUNTO CERCA DE LA FRONTERA

En este caso el error incrementa según los puntos se acercan a la frontera y se acaba estabilizando en [math]-0,3[/math]. El código utilizado para dibujar estas gráficas es el siguiente.

CÓDIGO DE LOS ERRORES