Ecuación de Laplace. Otelo, Yan y Mika

1 Introducción

En este articulo estudiaremos la ecuación de Laplace en la bola unidad de dimensión dos con diferentes condiciones frontera. En concreto, analizaremos la fórmula de Poisson y los errores cometidos al aproximar la integral de esta mediante la regla del trapecio con varias discretizaciones del dominio. Además, estudiaremos el error cometido al fijar una discretización e ir tomando puntos que se acercan a la frontera. También estudiaremos la solución por serie de Fourier y la desigualdad de Harnack. Por último, aproximaremos la solución de la Ecuación de Poisson con el potencial logarítmico de dos dimensiones.

2 Solución de la Ecuación de Laplace con la fórmula de Poisson y la regla del trapecio

Consideramos el problema

[math] \left\{\Delta u =0, \hspace{5mm} x \in B_1\atop \hspace{5mm} u = g \hspace{5mm} x\in\partial B_1 \right. [/math]

donde g es la función de una variable [math] g(\theta) = \max\{0, 1-\frac{2}{\pi}|\theta - \pi|\} [/math]

Como la función está en polares, para hallar la solución del problema vamos a usar la fórmula de Poisson en polares:

[math] u(r, \theta) = \frac{R^2 - r^2}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\frac{G(\varphi)}{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(\theta - \varphi)}d\varphi[/math]

Para resolver numéricamente la integral de la fórmula en MatLab usaremos la regla del trapecio. Esta regla consiste en dividir [math] [0,2\pi] [/math] en N subintervalos para después realizar la media de los valores del integrando en los dos extremos de cada subintervalo y multiplicarla por la longtitud de estos.

Si aplicamos la fórmula sobre la adherencia de la bola obtenemos discontinuidad en la frontera. Esto se muestra en la gráfica a continuación:

Solución estacionaria

Para solucionar esto, imponemos directamente la condición frontera en la frontera y aplicamos la fórmula en el interior de la bola. De esta manera, eliminamos la discontinuidad y conseguimos la siguiente gráfica:

Solución estacionaria

3 Limitaciones de la fórmula de Poisson relacionadas con la regla del trapecio

Como hemos comentado en la introducción, las limitaciones de la fórmula de Poisson provienen principalmente de la aproximación de la integral. En concreto, la fórmula de trapecio que utilizamos incorpora un error en la aproximación y en este apartado vamos a analizar cómo varía en función de la discretización, es decir, en función del número de subintervalos que tomemos para dividir [math] [0,2\pi][/math]. Para ello, vamos a considerar el mismo problema pero esta vez con la condición frontera [math] g(x,y) = xy [/math]

6 Ecuación de Poisson en [math] \mathbb{R}^2 [/math].

En este apartado daremos solución a un caso concreto de la Ecuación de Poisson. Previamente, mostramos algunas nociones teóricas que serán utilizadas en la resolución del problema.

LLamamos solución fundamental del Laplaciano en [math] \mathbb{R}^2 [/math] a la función que viene dada por la expresión [math] \phi (x)=\frac{-1}{2\pi}log(|x|)[/math], donde [math] log(|x|) [/math] recibe el nombre de potencial logarítmico. En clase hemos visto que, utilizando esta expresión, podemos encontrar una única solución para el problema

[math] \left\{ -\Delta u=f \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 \atop \lim_{|x|\to\infty} u(x)=\frac{M}{2\pi}log(|x|) + o (\frac{1}{(|x|)}), \right. [/math]

que será de la forma

[math] \int_{\mathbb{R}^2} \phi(x-y)f(y) dy. [/math]

6.1 El problema

En este apartado, intentaremos encontrar una solución para la siguiente ecuación:

[math] \{\hspace{2mm} \Delta u=\mathbb{1}_{\mathbb{B}(0,1)}, \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 [/math]

Utilizando la solución descrita en el apartado anterior, vemos que la función solución resultante es:

[math] \int_{\mathbb{R}^2} \phi(x-y)f(y) dy = \int_{\mathbb{R}^2} \frac{-1}{2\pi}log(|x|) \mathbb{1}_{\mathbb{B}(0,1)} dy [/math]