Ecuaciones de Laplace y de Poisson

1 Introducción

En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.

CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS

2 Ecuación de Laplace

La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,

[math] \Delta u = 0 [/math]

con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in \Omega \\ u = g, & \text{x} \in \partial \Omega \end{cases}[/math]

A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.

2.1 Ejemplo Laplace

Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en el origen. Planteamos el problema,

[math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_1 \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.

3 Calcular la solución de la ecuación de Laplace en el plano

Dentro de la resolución del problema planteado existen varios métodos por los que proceder. En este trabajo estudiaremos dos: la fórmula de Poisson y la serie de Fourier.

3.1 Solución por la fórmula de Poisson

Encontrar la solución del problema mediante la fórmula de Poisson viene determinado por el siguiente teorema.

3.1.1 Teorema

La solución [math] u \in C^2(B_R \cup C(\overline{B_R}) [/math]del problema [math] \begin{cases} \Delta u = 0, & \text{x} \in B_R \\ u = g, & \text{x} \in \partial B_R \end{cases}[/math] donde [math]g[/math] es una función continua viene dado por la fórmula de Poisson [math] u(\vec{x})=\frac{R^2-|\vec{x}|^2}{w_n R}\int_{\partial B_R}\frac{g(\sigma)}{|\vec{x}-\sigma|^2} d\sigma. [/math]

Es importante destacar que el denominador [math]|\vec{x}-\sigma|^2 [/math] se anula en la frontera de la bola llevándonos a una indeterminación y haciendo que la integral diverja. Esto también pasa si expresamos la fórmula en coordenadas polares [math](r, \theta)[/math]. Tomando,

[math]\vec{x} = (x_1, x_2) = (rcos(\theta), rsen(\theta)) [/math] [math] g(rcos(\theta), rsen(\theta)) = G(\theta)[/math]

llegamos a la fórmula de Poisson,

[math] U(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi R}\int_{0}^{2\pi}\frac{g(s)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-s)} ds. [/math]

En este caso, el denominador de la integral también se anula para puntos cercanos a la frontera, concretamente cuando el coseno se hace 1.

Veamos todo esto aplicado a la bola unidad.

3.1.2 Ejemplo bola unidad

Nuestro ejemplo anterior pasado a coordenadas polares es,

[math] \begin{cases} U_{rr} + \frac{1}{r} U_r + \frac{1}{r^2} U_{\theta\theta} = 0, & (r, \theta) \in B_1 \\ U(R, \theta) = G(\theta), & (r, \theta) \in \partial B_1 \end{cases}[/math]

Para la resolución de este problema vamos a tomar [math]G(\theta) = máx\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\}[/math] y utilizaremos la fórmula de Poisson en polares tomando [math]R = 1[/math]. Como hemos visto antes, la fórmula da problemas para puntos cercanos al borde. Esto lleva a una representación irregular de la frontera si dibujamos la solución sin tener en cuenta este problema.

FOTO SIN LA CONDICIÓN FRONTERA

Es por esto por lo que la condición frontera no es prescindible en el problema. Para estimar [math] U(r,\theta)[/math], utilizaremos la fórmula de Poisson para puntos ligeramente alejados del borde, y en el propio borde utilizaremos la condición frontera [math]U(R, \theta) = G(\theta)[/math].

FOTO CON LA CONDICION FRONTERA

En esta nueva gráfica podemos apreciar como la frontera no presenta las irregularidades anteriores. Para conseguir estas gráficas hemos implementado el siguiente código en MatLab.

CÓDICO

3.2 Errores de la fórmula de Poisson

Como hemos observado anteriormente, la fórmula de Poisson presenta ciertas dificultades a la hora de aproximar la solución en la frontera, debido a la singularidad inherente de la integral. En este apartado examinaremos estas irregularidades calculando el error de la aproximación.

3.2.1 Ejemplo bola unidad

Volviendo al ejemplo de la bola unidad, ahora nos olvidaremos de la

Ahora vamos a estudiar