ECUACION LOGÍSTICA

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 . Introducción

Las ecuaciones de Laplace y Poisson son fundamentales en el campo de la física matemática y la ingeniería, especialmente en el estudio de fenómenos de difusión, electrostática y flujo de calor. Ambas ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que describen el comportamiento de campos escalares en un dominio dado. La ecuación de Laplace representa un caso especial de la ecuación de Poisson, donde la función fuente es cero.

La ecuación de Laplace se expresa matemáticamente como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= 0[/math]

Donde [math]\phi[/math] es el campo escalar y [math]\nabla^2[/math] es el operador Laplaciano.

Por otro lado, la ecuación de Poisson se formula como: [math]\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= f[/math]

Donde f es una función fuente que puede representar, por ejemplo, densidad de carga, densidad de masa o fuentes térmicas.

2 . Ej 4

En esta sección nos centraremos en el problema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \Delta u=0, \vec{x}\in B_R,\\ u=g, \vec{x}\in \partial B_R, \\ \end{array} \right. [/math]

donde [math]B_R[/math] es la bola de radio [math]R[/math] centrada en [math](0,0)[/math] y [math]g[/math] es una función cualquiera. En este caso nos enfocaremos en el caso [math]R=1[/math].

En primer lugar, compararemos su solución usando la fórmula de Poisson frente a su solución usando la serie de Fourier, pintando sus gráficas y viendo los errores que tienen al aproximar una solución exacta. Finalmente, usaremos la desigualdad de Harnack.

2.1 .Apart 1

Comenzamos con la solución dada por la fórmula de Poisson. La fórmula de Poisson nos dice que la solución a un problema de la forma anterior es:

[math] u(\vec{x})=\frac{R^2-||\vec{x}||^2}{2\pi R}\int_{\partial B_R}\frac{g(\sigma)}{||\vec{x}-\sigma||^2} d\sigma, [/math]

donde R es el radio de la bola donde se plantea el problema y [math] ||\vec{x}|| [/math] la distancia al centro de la bola.

Consideramos en coordenadas polares [math](r,\theta)[/math] la función [math]g(\theta)=\max \left\{0, 1 - \frac{2}{\pi} \left| \theta - \pi \right| \right\} [/math] que impone la condición frontera del problema. La fórmula de Poisson escrita de otra forma, dice que la solución del problema escrita en coordenadas polares es:

[math] U(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{g(s)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-s)} ds, [/math]

Solución estacionaria

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3 .Código

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4 . Apart 4

La desigualdad de Harnack establece que para una función armónica u donde [math] 0 \leq u [/math] en un dominio [math]\ D \subset \mathbb{R}^n[/math].Suponemos [math] B_{R}(z)\subset D[/math]. Entonces [math] \frac{R^{n-2} (R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(x_0)\leq u(x) \leq \frac{R^{n-2} (R+r)}{(R-r)^{n-1}}u(x_0)[/math].

De acuerdo con el enunciado debemos hallar el mínimo de la función g(x,y)=xy en la frontera de la bola unidad [math] \partial B_1 [/math], si expresamos la función en coordenadas polares tenemos [math] g(\theta)=R^{2}cos(\theta)sen(\theta)[/math], de modo que:

[math] min(g(x,y)) = min(g(\theta))= min\{R^{2}cos(\theta)sen(\theta)\}= - \frac{1}{2} [/math]

siendo [math] U(r,\theta)=\frac{r^2}{2R^2}sin(2\theta) [/math] la solución al problema en [math] B_R [/math], y definiendo la función v como [math] v=u -M[/math] y sustituyendo el valor del mínimo obtenido tenemos

[math] v = u -M = u + \frac{1}{2} [/math] .

Sobre v aplicaremos la desigualdad de Harnack, teniendo en cuenta que el valor de la función [math] U(r, \theta) [/math] en (0,0) es 0 tendremos que [math] v(0,0)= \frac{1}{2} [/math] y sustituyendo obtenemos:

[math] \frac{R^{n-2} (R-r)}{2(R+r)^{n-1}} \leq v(x) \leq \frac{R^{n-2} (R+r)}{2(R-r)^{n-1}} [/math] con [math] r \in [0,1) [/math]

Por último representamos la región donde quedarán comprendidas estas funciones a partir de la expresión anterior.

5 . Ej 5

5.1 .Código

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