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1 Ecuación de Poisson

En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por [math] \Delta u = f [/math] siendo [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math]y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math]. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3.

Se comenzará definiendo la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por [math] \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) [/math] si n=2 y [math] \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } [/math] si n=3.

1.1 Potencial newtoniano para [math] \mathbb{R}^3[/math]

Supongamos que [math] f(x) [/math] representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional [math] \mathbb{R}^3[/math].

Entonces, la expresión [math] \phi(x-y)f(y)dy[/math] denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión:

[math] u(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{y}) \phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) d\mathbf{y} [/math]

Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f y se aplica sobre funciones que en el infinito tienden de manera rápida a cero.

A su vez, sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^3)[/math] con soporte compacto. Sea [math]u[/math] el potencial newtoniano de [math]f[/math], definido por el potencial Newtoniano. Entonces, [math]u[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^3[/math] de [math]\Delta u = -f[/math] que pertenece a [math]C^2(\mathbb{R}^3)[/math] y se anula en el infinito. Es decir, dado:

[math] \begin{cases} \Delta u = -f \\ u(x) \rightarrow 0 & \text{si } |x| \rightarrow \infty \end{cases}[/math]

su solución viene dada por el potencial newtoniano que se presenta anteriormente.

1.2 Potencial logarítmico

Si el problema se presenta en [math] \mathbb{R}^2[/math] el potencial newtoniano se sustituye por el potencial logarítimico:

[math] u(\mathbf{x}) = -\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} log|\mathbf{x} - \mathbf{y}|f(\mathbf{y}) d\mathbf{y} [/math]

De esta manera, Sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^2)[/math] con soporte compacto, [math]u(\mathbf{x})[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^2[/math] de:

[math] \begin{cases} \Delta u = -f \\ u(x)=-\frac{M}{2\pi} log |x| + O\left(\frac{1}{|x|} \right) & \text{si } |x| \rightarrow \infty \end{cases}[/math] donde [math] M= \int _{\mathbb{R}^2} f(\mathbf y) d\mathbf y[/math].