Ecuación de Laplace. Otelo, Yan y Mika

1 Introducción

En este articulo estudiaremos la ecuación de Laplace en la bola unidad de dimensión dos con diferentes condiciones frontera. En concreto, analizaremos la fórmula de Poisson y los errores cometidos al aproximar la integral de esta mediante la regla del trapecio con varias discretizaciones del dominio. Además, estudiaremos el error cometido al fijar una discretización e ir tomando puntos que se acercan a la frontera. También estudiaremos la solución por serie de Fourier y la desigualdad de Harnack. Por último, aproximaremos la solución de la Ecuación de Poisson con el potencial logarítmico de dos dimensiones.

2 Solución de la Ecuación de Laplace con la fórmula de Poisson y la regla del trapecio

Consideramos el problema

[math] \left\{\Delta u =0, \hspace{5mm} x \in B_1\atop \hspace{5mm} u = g \hspace{5mm} x\in\partial B_1 \right. [/math]

donde g es la función de una variable [math] g(\theta) = \max\{0, 1-\frac{2}{\pi}|\theta - \pi|\} [/math]

Como la función está en polares, para hallar la solución del problema vamos a usar la fórmula de Poisson en polares:

[math] u(r, \theta) = \frac{R^2 - r^2}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}\frac{G(\varphi)}{R^2 + r^2 - 2Rr\cos(\theta - \varphi)}d\varphi[/math]

Para resolver numéricamente la integral de la fórmula en MatLab usaremos la regla del trapecio. Esta, aproxima el resultado mediante la división en N subintervalos de [math] [0,2\pi] [/math] para después realizar la media de los valores del integrando para los dos extremos de cada subintervalo y multiplicarla por la longtitud de estos.

Solución estacionaria

6 Ecuación de Poisson en [math] \mathbb{R}^2 [/math].

LLamamos 'solución fundamental del Laplaciano en [math] \mathbb{R}^2 [/math]' viene dada por la expresión [math] \phi (x)=\frac{-1}{2\pi}log(|x|)[/math], donde [math] log(|x|) [/math] recibe el nombre de potencial logarítmico. En clase hemos visto que, utilizando esta expresión, podemos encontrar una única solución para el problema

[math] \left\{ -\Delta u=f \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 \atop \lim_{|x|\to\infty} u(x)=\frac{M}{2\pi}log(|x|) + o (\frac{1}{(|x|)}), \right. [/math]

que será de la forma

[math] \int_{\mathbb{R}^2} \phi(x-y)f(y) dy. [/math]

En este apartado, utilizaremos esta función fundamental para aproximar la solución al problema:

[math] \{\hspace{2mm} \Delta u=\mathbb{1}_{\mathbb{B}(0,1)}, \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 [/math]