Ecuación de Laplace. Otelo, Yan y Mika

2 Ecuación de Poisson en [math] \mathbb{R}^2 [/math].

LLamamos 'solución fundamental del Laplaciano en [math] \mathbb{R}^2 [/math]' viene dada por la expresión [math] \phi (x)=\frac{-1}{2\pi}log(|x|)[/math], donde [math] log(|x|) [/math] recibe el nombre de potencial logarítmico. En clase hemos visto que, utilizando esta expresión, podemos encontrar una única solución para el problema

[math] \left\{ -\Delta u=f \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 \atop \lim_{|x|\to\infty} u(x)=\frac{M}{2\pi}log(|x|) + o (\frac{1}{(|x|)}), \right. [/math]

que será de la forma

[math] \int_{\mathbb{R}^2} \phi(x-y)f(y) dy. [/math]

En este apartado, utilizaremos esta función fundamental para aproximar la solución al problema:

[math] \{\hspace{2mm} \Delta u=\mathbb{1}_{\mathbb{B}(0,1)}, \hspace{4mm} x\in\mathbb{R}^2 [/math]