Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson. |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En este artículo se trabajará en la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, calculando distintas soluciones en distintos escenarios, graficándolas y modificando parámetros con el objetivo de poder alcanzar una mayor comprensión sobre la teoría de estas ecuaciones en derivadas parciales y relacionarla directamente con los resultados.
En primer lugar se tratará...
2 Preliminares
2.1 Laplaciano de una función
Sea una función [math]f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] (se tomará en todo el artículo el espacio tridimensional, es decir, [math]n=3[/math]), se define el operador diferencial de segundo orden [math]\Delta f[/math], denominado laplaciano de [math]f[/math] como: Coordenadas cartesianas. [math]\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}[/math]
Coordenadas cilíndricas. [math]\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} [/math]
teoremas de Laplace y Poisson, en que espacio estamos, convergencia de series de Fourier, desigualdad de Harnack, método del trapecio
3 Contexto histórico
Para intentar entender las ecuaciones de la mejor forma posible, se debe conocer las raíces de donde surgieron. Por ello, se explicará brevemente.
En primer lugar, Pierre-Simon Laplace fue un astrónomo, físico y matemático francés. Este trabajó en la teoría del calor y en el estudio de los campos gravitatorios. Fue al estudiar el potencial gravitacional y el potencial eléctrico, con la hipótesis de que estos no tuvieran fuentes ni sumideros, cuando ideó y investigó las propiedades de lo que se conoce hoy como ecuación de Laplace. Además posteriormente se utilizó en más campos como la hidrodinámica y otros aspectos de la física.
Posteriormente, el matemático y físico francés Siméon Denis Poisson, realizó una generalización significativa de la ecuación de Laplace y su correspondiente fórmula para resolverla. De esta forma, se le dio el nombre de ecuación de Poisson. Que ambos investigaran temas semejantes no es coincidencia, ya que Laplace fue profesor de Poisson en una escuela de París y, gracias a ello, desarrollaron una gran relación de amistad.
ref: http://automata.cps.unizar.es/Biografias/Laplace.htm , https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson , https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
4 Ecuación de Laplace
Una vez definido el laplaciano de una función, la ecuación de Laplace es:
[math] \Delta u = 0 [/math]
donde [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math]
El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace, surge de manera inmediata al planteamiento de esta misma. De esta forma, se trata de encontrar una función que cumpla la ecuación de Laplace en un abierto [math]\Omega \in \mathbb{R}^3[/math] y además fijar lo que vale la solución en la frontera del abierto [math]\partial \Omega[/math]:
A continuación, se planteará un problema de Laplace y se estudiará la solución por los métodos de la fórmula de Poisson y desarrollo por series de Fourier. Además se analizará el error que se produce por los distintos métodos y el cálculo numérico. También se estudiará el espacio en el que están las soluciones, utilizando la desigualdad de Harnack.
Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Se considera el siguiente problema.
donde la función [math]g[/math] viene descrita en coordenadas polares y se define como [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math].
4.1 Solución dada por la fórmula de Poisson
Para hallar la solución, se usará la fórmula de Poisson en coordenadas polares ,ya planteada en los preliminares, la cual se define como:
[math] u(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int_{\partial B_1} \frac{g(y)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-y)} dy [/math]
