Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson. |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En este artículo se trabajará en la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, calculando distintas soluciones en distintos escenarios, graficándolas y modificando parámetros con el objetivo de poder alcanzar una mayor comprensión sobre la teoría de estas ecuaciones en derivadas parciales y relacionarla directamente con los resultados.
En primer lugar se tratará...
2 Contexto histórico
Para intentar entender las ecuaciones de la mejor forma posible, se debe conocer las raíces de donde surgieron. Por ello, se explicará brevemente.
En primer lugar, Pierre-Simon Laplace fue un astrónomo, físico y matemático francés. Este trabajó en la teoría del calor y en el estudio de los campos gravitatorios. Fue al estudiar el potencial gravitacional y el potencial eléctrico, con la hipótesis de que estos no tuvieran fuentes ni sumideros, cuando ideó y investigó las propiedades de lo que se conoce hoy como ecuación de Laplace. Además posteriormente se utilizó en más campos como la hidrodinámica y otros aspectos de la física.
Posteriormente, el matemático y físico francés Siméon Denis Poisson, realizó una generalización significativa de la ecuación de Laplace y su correspondiente fórmula para resolverla. De esta forma, se le dio el nombre de ecuación de Poisson. Que ambos investigaran temas semejantes no es coincidencia, ya que Laplace fue profesor de Poisson en una escuela de París y, gracias a ello, desarrollaron una gran relación de amistad.
ref: http://automata.cps.unizar.es/Biografias/Laplace.htm , https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson , https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
3 Ecuación de Laplace
Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Se considera el siguiente problema.
En primer lugar, dada la función [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math] se hallará la solución al problema. Para ello, se usará la fórmula de Poisson en coordenadas polares y la solución dada por series de Fourier. En ambos casos, se analiza el error que se da por distintos motivos y se estudiará el espacio en el que están las soluciones utilizando la desigualdad de Harnack.
