Ecuación del calor. Yan, Otelo, Mika

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Miguel Cazorla Pedraza Otelo Gallego Ayala Yan Wang
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En este articulo primero estudiaremos la ecuación del calor en dominio acotado, y más tarde trataremos su solución fundamental en todo [math] \mathbb{R} [/math]. Además, graficaremos los resultados para entender mejor la teoría de estas ecuaciones y compararemos diversos casos.

2 Ecuación del calor I

Vamos a dibujar diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, partimos del siguiente enunciado:

[math] \textit{Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [0,1] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce}[/math] [math] \textit{en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es } [/math] [math] 0^oC [/math]. [math] \textit{ En el extremo izquierdo se consigue mantener la temperatura a } 0^oC \textit{mientras que en el} [/math] [math] \textit{ derecho la temperatura es de } 1^oC [/math].

Suponiendo que tanto la conductividad térmica como el calor específico tienen un valor constante [math] 1 [/math], y llamando [math] u(x,t) [/math] a la función temperatura en función del espacio y el tiempo, tenemos que el anterior enunciado se ve modelizado por el siguiente sistema EDP:

[math] \left\{ \frac{du}{dt}(x,t) - \frac{d^2u}{dx^2}(x,t)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1] \hspace{3mm} t\gt0 \atop u(x,0)=0, \hspace{5mm} u(0,t)=0, \hspace{5mm} u(1,t)=1, \hspace{5mm} x\in[0,1] \hspace{3mm} t\gt0 \right. [/math]

Para dar solución a este sistema, resolveremos primero el problema resultante de tomar [math] t \rightarrow \infty [/math], que implica [math] \frac{du}{dt}(x,t) = 0 [/math] por lo que se denomina caso estacionario.

[math] \left\{ - \frac{d^2V}{dx^2}(x)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1]\atop \hspace{5mm} V(0)=0, \hspace{5mm} V(1)=1 \hspace{5mm} x\in[0,1] \right. [/math]

La solución estacionaria es [math] V(x) = x [/math]. Veamos cómo es su representación gráfica en 3D:

Solución estacionaria

La solución del sistema original por separación de las variables que obtenemos es:

[math] u(x,t) = x + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{2(-1)^k}{k\pi}\sin(k \pi x)e^{-k^2 \pi^2 t}} [/math]

Y su representación gráfica se aproxima bastante a la estacionaria:

Solución del problema original

A continuación observamos en una gráfica el flujo de calor saliente y entrnte en ambos extremos de la varilla a lo largo del tiempo:

YAN

3 Cambio en el coeficiente de conductividad térmica

En este apartado vamos a variar el coeficiente de conductividad térmica de 1 a 1/2. Esto nos deja la siguiente ecuación diferencial:

[math] \frac{du_{1/2}}{dt}(x,t) - \frac{1}{2}\frac{d^2u_{1/2}}{dx^2}(x,t)=0 [/math]

Nótese que este cambio en el coeficiente de conductividad no tiene influencia en la solución del problema estacionario, por lo que tras homogeneizar las condiciones frontera resulta el siguiente sistema:

[math] \left\{ \frac{du_{1/2}}{dt}(x,t) - \frac{1}{2}\frac{d^2u_{1/2}}{dx^2}(x,t)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1]\hspace{3mm} t\gt0 \atop u_{1/2}(x,0)=x , \hspace{5mm} u_{1/2}(0,t)=0, \hspace{5mm} u_{1/2}(1,t)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1]\hspace{3mm} t\gt0 \right. [/math]

Por tanto, la solución para este caso es:

[math] u_{1/2}(x,t) = x + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{2(-1)^k}{k\pi}\sin(k \pi x)e^{\frac{-k^2 \pi^2 t}{2}}} [/math]

Y su representación gráfica es la siguiente:

Representación de u y u_{1/2}

Vemos que a simple vista tiene una apariencia casi idéntica a la solución del problema original. Por ello, para entender la influencia del coeficiente de conductividad en la función solución del sistema, veamos las diferencias entre la soluciones [math] u_{1/2} [/math] , [math] u [/math] y la solución estacionaria evaluada en [math] x=\frac{1}{2} [/math]

Representación las diferencias u(1/2,t)-v(1/2) y u_{1/2}(1/2,t)-v(1/2)

En estas gráficas de diferencias podemos ver como ambas se acercan al valor cero según se va aumentando la [math] t [/math], puesto que las soluciones de acercan más a la estacionaria. Además, podemos ver como aquella solución con el coeficiente de conducción más bajo lo hace de una forma más lenta que la original. De hecho, probando con distintos valores para este coeficiente podemos concluir que cuanto menor es, más tarda en alcanzarse la solución estacionaria.

Representación las diferencias u_{4}(1/2,t)-v(1/2), u_{1/5}(1/2,t)-v(1/2) y u_{1/10}(1/2,t)-v(1/2)

4 Cambio en la condición inicial

Pasamos ahora a variar la condición inicial. Para ello, tendremos que la temperatura en el extremo derecho es también 0 °C, pero consideramos que la temperatura inicial de la barra viene dada por la función [math] u_0(x) = \max\{0, 1-4·|x-1/2|\} [/math]. Así, el sistema EDPS resultante es el siguiente:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} \frac{du}{dt}(x,t) - \frac{d^2u}{dx^2}(x,t)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1] \hspace{3mm} t\gt0 \\ u(x,0)= u_0(x) = \max\{0, 1-4·|x-1/2|\}, \hspace{5mm} x\in[0,1] \\ u(0,t)=0,\hspace{3mm} t\gt0\\ u(1,t)=1,\hspace{3mm} t\gt0 \end{array} \right. [/math]

A continuación, realizaremos el mismo análisis que en el primer apartado de este documento para el nuevo sistema planteado.

Nótese que este cambio en la condición inicial no influye en la resolución del caso estacionario, por lo que de nuevo la solución estacionaria es [math] V(x) = x [/math]. Sin embargo, el problema homogeneizado si será distinto al original, siendo el problema a resolver el siguiente:

[math] \left\{ \begin{array}{ll} \frac{du}{dt}(x,t) - \frac{d^2u}{dx^2}(x,t)=0, \hspace{5mm} x\in[0,1] \hspace{3mm} t\gt0 \\ u(x,0)= u_0(x) = \max\{0, 1-4·|x-1/2|\} - x, \hspace{5mm} x\in[0,1] \\ u(0,t)=0,\hspace{3mm} t\gt0\\ u(1,t)=0,\hspace{3mm} t\gt0 \end{array} \right. [/math]

Cuya solución viene dada por

5 Cambios en las condiciones de frontera y principio del máximo

Por último, repetiremos el apartado anterior pero esta vez suponiendo que la barra está aislada térmicamente en el extremo derecho. Esto quiere decir que pasamos a tener una condicion de frontera de tipo Neumann en [math] x = 1 [/math] :

[math] u_t(1,t) = 0 [/math]

6 Ecuación del calor II

En esta sección vamos a dibujar diferentes soluciones de la ecuacion del calor usando la solucion fundamental.

En primer lugar, tomamos [math]x \in [-1,1] [/math] y [math]x \in [10^{-2},1] [/math] para dibujar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1, que como vimos en clase es:

[math] u(x,t) = \frac{1}{2 \sqrt{\pi t}}e^{-\frac{1}{4t}x^2} [/math]

Solución fundamental

Ahora, vamos a dibujar la solución de la ecuación del calor en una dimensión en el semiespacio [math] x \gt 0 [/math] con condiciones:

[math] u(0,t) = 1 [/math] [math] u(x, 0) = 0 [/math]

Para ello, ...

A contuación veremos la relación de la ecuación del calor con la convolución.

Si tomamos la función [math]u_0(x) = 1_{[-1,1]} [/math] como condición inicial y denotamos la solución fundamental como [math] K(x,t) [/math] , entonces:

[math] u(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x-y,t)·u_0(y) dy [/math]

es la solución de [math] u_t - u_{xx} = 0[/math] para [math] x \in \mathbb{R} [/math]

Si representamos esta solución para distintos valores de t obtenemos las siguientes gráficas:

Solución para t = 0.001

Solución para t = 0.01

Solución para t = 0.1

Podemos concluir que ...

Para terminar, tomamos el intervalo espacial [math] (x_1,x_2) = [-1,1]^2[/math] para representar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2 para los mismos valores de t:

Solución n=2 para t = 0.001

Solución n=2 para t = 0.01

Solución n=2 para t = 0.1

Observamos que cuanto más cerca está t de 0, más singular es la solución.