Ecuación del calor (Raúl, Sofía, Jaime)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Raúl Ortega Sofía Gómez Jaime Sáenz de Miera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión mediante el estudio de una varilla metálica de longitud 1 y que se encuentra aislada por su superficie lateral, es decir, la conducción de calor solo se produce en la dirección longitudinal. Además, vamos a ver cómo varía la solución en función de la variación de distintos parámatros como las condiciones iniciales o el coeficiente de difusión.

1 1

En este primer apartado, vamos a suponer que la temperatura inicial de la varilla es 0ºC y que en el extremo izquierdo se consigue mantener la temperatura a 0ºC mientras que en el derecho la temperatura es siempre de 1ºC.

[math] \begin{cases} u_t-u_{xx}=0 & x\in(0,1),t\gt0\\ u(0,t)=0&t\gt0\\ u(1,t)=1&t\gt0\\ u(x,0)=0&x\in(0,1) \end{cases} [/math]

1.1 Homogeneización

calculamos la solución estacionaria

[math] \begin{cases} v_{xx}=0 & x\in(0,1)\\ v(0)=0\\ v(1)=1\\ \end{cases} [/math]

Solución estacionaria

[math] v(x)=x [/math]

v=@(x,t) x;
colormap jet
fsurf(v, [0 1 0 1], 'EdgeColor','interp')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('v(x)')

Homogeneizado: [math] w(x,t)=u(x,t)-v(x) [/math]

[math] \begin{cases} w_t-w_{xx}=0 & x\in(0,1),t\gt0\\ w(0,t)=0&t\gt0\\ w(1,t)=0&t\gt0\\ w(x,0)=-x&x\in(0,1) \end{cases} [/math]

1.2 Resolución

Solución por separación de variables: [math] w(x,t)=\sum_{k=1}^\infty\frac{2(-1)^k}{k\pi}\sin(k\pi x)e^{-k^2\pi^2 t} [/math]

clear all
%Definimos las funciones
wi=@(x,t,k) ((2*(-1)^(k))/(k*pi)).*sin(k.*pi.*x).*exp(-k^2.*pi^2.*t);
v=@(x) x;

%Sumamos los 10 primeros términos
w=@(x,t) 0;
for n=1:10
    w=@(x,t) w(x,t) + wi(x,t,n);
end
u=@(x,t) w(x,t)+v(x);

% Gráfica en 3D
close all
colormap jet
fsurf(u,[0 1 0 1], 'EdgeColor','interp')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('w(x,t)')

1.3 Flujo en los extremos

%Definimos las derivadas 
dwi=@(x,t,k) (2*(-1)^(k+1)).*cos(k.*pi.*x).*exp(-k^2.*pi^2.*t);
dv=@(x) 1;

%Sumamos los 10 primeros términos
dw0=@(t) 0;
dw1=@(t) 0;
for n=1:10
    dw0=@(t) dw0(t) + dwi(0,t,n);
    dw1=@(t) dw1(t) + dwi(1,t,n);
end
du0=@(t) dw0(t)-dv(0);
du1=@(t) dw1(t)-dv(1);

% Gráfica 
close all
t=linspace(0,1,100);
subplot(2,1,1)
plot(t,du0(t))
xlabel('t')
ylabel('u´(0,t)')
subplot(2,1,2)
plot(t,du1(t))
xlabel('t')
ylabel('u´(1,t)')

2 2

Diferencia con la estacionaria

%Definimos las funciones
wi1=@(x,t,k) ((2*(-1)^(k))/(k*pi)).*sin(k.*pi.*x).*exp(-k^2.*pi^2.*t);
wi2=@(x,t,k) ((2*(-1)^(k))/(k*pi)).*sin(k.*pi.*x).*exp(-k^2.*pi^2.*t./2);
v=@(x) x;

%Sumamos los 10 primeros términos
w1=@(x,t) 0;
w2=@(x,t) 0;
for n=1:10
    w1=@(x,t) w1(x,t) + wi1(x,t,n);
    w2=@(x,t) w2(x,t) + wi2(x,t,n);
end

u1=@(x,t) w1(x,t)+v(x);
u2=@(x,t) w2(x,t)+v(x);

%Hacemos la diferencia con la solución estacionaria
dif1=@(t) u1(0.5,t)-v(0.5);
dif2=@(t) u2(0.5,t)-v(0.5);

% Gráfica 
close all
t=linspace(0,1,100);
subplot(2,1,1)
plot(t,dif1(t))
xlabel('t')
ylabel('w(0.5,t)-v(0.5)')
subplot(2,1,2)
plot(t,dif2(t))
xlabel('t')
ylabel('w(0.5,t)-v(0.5)')