Ecuación del calor (GRwM)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GRwM
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Guillermo Gómez Tejedor, Marina Jiménez Barrantes y Rocío Tajuelo Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En el trabajo que se presenta a continuación, vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral, de modo que la conducción de calor se produzca en la dirección longitudinal. Partiendo de esto y añadiendo ciertas condiciones de frontera, que iremos modificando a lo largo del trabajo, vamos a calcular la solución de la ecuación del calor y la vamos a representar.

2 Conceptos previos

En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema.

Ley de Fourier: Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa dirección. En nuestro caso, al trabajar en una dimensión, [math] \bigtriangledown T([/math][math] '''x'''[/math][math],t)= T_{x} [/math] y la ley de Fourier es

[math] q=-k\cdot T_{x} [/math]

Por otro lado, se puede entender la energía calorífica como:

Principio de conservación de la energía.

PONER FÓRMULA

3 Planteamiento del problema

Para comenzar con el estudio de la ecuación del calor, primero debemos plantear el problema a resolver, que involucra esta ecuación junto a ciertas condiciones de frontera y condición inicial. Como ya se ha mencionado, en nuestro estudio vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral. De esta manera, la conducción de calor se produce únicamente en la dirección longitudinal.

Además, vamos a considerar que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC. También vamos a fijar la temperatura en el extremo izquierdo en 0ºC y en el derecho a 1ºC.

Teniendo en cuenta el principio de conservación la energía y la definición de la energía en función de la temperatura, así como las condición inicial y de frontera, se obtiene el siguiente sistema de EDP:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{k}{c} \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ T(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

Suponemos que tanto la conductividad térmica [math]k[/math] como el calor específico [math]c[/math] toman el valor constante [math]1[/math]. Entonces, el sistema de EDP final queda de la siguiente forma:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ T(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

4 Resolución del sistema EDP

Una vez planteado el sistema, procedemos a resolverlo. Para ello, con el objetivo de homogeneizar las condiciones de frontera, vamos a comenzar obteniendo la solución estacionaria.

4.1 Solución estacionaria y homogeneización del sistema

Para calcular la ecuación del estado estacionario, vamos a tomar el tiempo [math] t [/math] infinito. Esto implica que la variación de la temperatura con respecto al tiempo desaparezca, de modo que la ecuación del sistema HACER REFERENCIA es ahora [math] T_{xx}=0[/math].

Considerando además las condiciones [math] T(0)=0[/math] y [math] T(1)=0[/math], provenientes de las condiciones frontera del problema original, se tiene que la solución de la ecuación del estado estacionario es:

[math] \begin{array}{ll} T_{est}(x)=x, & \quad 0 \lt x \lt 1 \end{array}. [/math]

En la siguiente gráfica, se representa esta solución:

Consideramos ahora el problema equivalente con condiciones de frontera homogéneas, donde se define [math] T_{hom}(x,t)= T(x,t)-T_{est}[/math]:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T_{hom}}{\partial t}-\frac{\partial ^2 T_{hom}}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(1,t)=0 & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(x,0)=x, & \quad 0 \lt x \lt 1. \end{array} \right. [/math]