Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Raúl Ortega Sofía Gómez Jaime Sáenz de Miera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo vamos a estudiar qué son las series de Fourier utilizando varias funciones que ejemplifiquen todas las situaciones que nos podemos encontrar al calcular una serie de Fourier.

1 Preliminares

Antes de definir series de Fourier, necesitamos conocer el espacio [math] L^2= \{ f: \Omega \longrightarrow \mathbb{R} : \int_{\Omega}|f(x)|^2 \, dx \lt \infty \} [/math], que es un espacio de Hilbert.

Esto nos permite definir el producto escalar como [math]\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega)}= \int_{\Omega} f(x) \cdot g(x) \, dx [/math], con [math] f,g\in L^2(\Omega) [/math], y el módulo como [math] \| \cdot \| _ {L^2 (\Omega)} = \sqrt{\langle\cdot , \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} [/math].

2 Series de Fourier

El conjunto [math] \{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx) \}_{n\in\mathbb{N}}[/math] es la base trigonométrica del espacio [math] L^2([-\pi,\pi])[/math], por tanto, toda función de [math] L^2([-\pi,\pi])[/math] puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de esta. Además, podemos observar que las funciones de la base son [math] 2\pi[/math] periódicas, y es fácil comprobar que es una base ortogonal en [math] L^2([-\pi,\pi])[/math].

Para entender mejor la base vamos a graficar los primeros 10 términos de esta.

right

x=linspace(-1,1,200);
y=1/2*ones(1,200);
hold on
plot(x,y)
for n=1:4
    plot(x,cos(n*pi*x))
    plot(x,sin(n*pi*x))
end
plot(x,cos(5*pi*x))
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('1/2', '$\cos(\pi x)$', '$\sin(\pi x)$', '$\cos(2\pi x)$', '$\sin(2\pi x)$', '$\cos(3\pi x)$', '$\sin(3\pi x)$', '$\cos(4\pi x)$', '$\sin(4\pi x)$','$\cos(5\pi x)$', 'Interpreter','latex');

Una vez hemos entendido lo que es una base trigonométrica, podemos definir la serie de Fourier de una función [math] f\in L^2([-\pi,\pi])[/math] como: [math] f \approx \frac{a_0}{2}+\sum^{N}_{n=1}(a_n\cos{(nx)}+b_n\sin{(nx)})[/math]

Como la base trigonométrica es ortogonal, podemos obtener los coeficientes de la serie de Fourier como:

[math] a_0=\frac{\langle f,\frac{1}{2}\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \frac{1}{2} \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\, dx [/math],

[math] a_n=\frac{\langle f,\cos(nx)\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \cos(nx) \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\cos(x)\, dx [/math].

[math] b_n=\frac{\langle f,\sin(nx)\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \sin(nx) \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\sin(x)\, dx [/math],

3 Extensión de funciones

Para simplificar los cálculos de la serie de Fourier podemos extender la función de forma par o impar, lo cual hace que algunos términos se cancelen. Si la función es par, los coeficientes [math] b_n[/math] serán cero, ya que al ser el seno una función impar, el producto [math] f(x)\sin(x)[/math] también lo va a ser, y la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico se anula. Análogamente, si la función es impar los coeficientes [math] a_0,a_n,n\geq 1[/math] van a ser cero.

Para ejemplificar esto, tomaremos la función [math]f(x)=x(1-x)[/math] en el intervalo [math][0,1][/math]. La extenderemos de forma impar en el intervalo [math][-1,1][/math] y la aproximaremos usando su desarrollo en serie de Fourier.

Para hacer esto, primero vamos a comprobar que la extensión sigue siendo una función continua, esto se debe a que la original pasaba por el origen de coordenadas.

right

x1=0:10^(-3):1;
x2=-1:10^(-3):0;
figure(1)
hold on
plot(x1,x1.*(1-x1),'r',LineWidth=1.5)
plot(x2,x2.*(1+x2),'b',LineWidth=1.5)
title('Extension impar de $f(x)=x(1-x)$', 'interpreter','latex',FontSize=15)
xlabel('x')
ylabel('y')

Ahora calcularemos la serie de Fourier aproximando los coeficientes de la serie de forma numérica mediante el calculo de las integrales por el método del trapecio.

a=0; b=1;                    
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1);              
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
figure(2)
n=[1,5,10];
f_n=zeros(length(n),N+1);
for i=1:length(n)
    for k=1:n(i)
        g=(u_1.*(1-u_1).*sin(k*pi*u_1))'; 
        a_k=2*h*w'*g;
        f_n(i,:)=f_n(i,:)+a_k*sin(k*pi*u_1);
    end
    subplot(1,3,i)
    hold on 
    plot(u_1,f_n(i,:),'r',LineWidth=1.5)
    plot(u_1,u_1.*(1-u_1),'--b',LineWidth=1.5)
    title('n='+string(n(i)))
    legend('$f_n(x)$','$f(x)$','interpreter','latex','Location','northwest')
    grid('on')
end

En la gráfica se muestra la aproximación de [math] f(x) [/math] por los primeros términos de su serie de Fourier (1,5 y 10 respectivamente). Como ya de partida la función [math] f(x) [/math] tenía una forma bastante sinusoidal en el intervalo [math] [0,1] [/math], vemos que la aproximación es bastante buena con tan sólo unos pocos términos de la serie.

Aunque a simple vista se ve que la aproximación es buena, vamos a comprobarlo utilizando los errores en la norma [math] L^2 [/math] y en la uniforme.

right

a=0; b=1;                    
u_1=a:10^(-3):b;
u_2=-1:10^(-3):0;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1);              
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
for n=1:10
    f_n=zeros(1,N+1);
    for k=1:n
        g=(u_1.*(1-u_1).*sin(k*pi*u_1))'; 
        a_k=2*h*w'*g;
        f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1);
    end
    g1=abs(u_1.*(1-u_1)-f_n).^2;
    error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2);
    error2(n)=max(abs(u_1.*(1-u_1)-f_n));
end
nn=1:1:10;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
legend('$L^2$','Supremo','interpreter','latex')

Como podemos observar en la gráfica, cuanto mayor es la [math] n [/math], mejor aproxima la función y además, podemos ver que el error en [math] n=10 [/math] es casi 0. También, podemos observar que el error de la norma [math] L^2 [/math] es menor que el de la norma uniforme.

Ahora vamos a tomar la función [math] g(x)=1_{x\leq 1/2}(x) [/math] extendiéndola de forma par al intervalo [math] [-1,1] [/math] y aproximándola por su serie de Fourier.

right

x1=[0:0.01:1];
x2=[-1:0.01:0];
y1=[ones(50,1);zeros(51,1)];
y2=[zeros(50,1);ones(51,1)];
figure(1)
plot(x1,y1,LineWidth=1.5,Color='r')
ylim([-1,2])
hold on
plot(x2,y2,LineWidth=1.5,Color='b')
title('Extension par de $g(x)=1_{x\leq 1/2}(x)$','Interpreter','latex',FontSize=15)
xlabel('x')
ylabel('y')

Comprobamos que como la función era discontinua, la extensión sigue siendo discontinua, y por tanto vamos a ver que la serie de Fourier que la aproxime......

x=[0:0.01:1];
y=[ones(50,1);zeros(51,1)];
u=0:10^(-3):1;
N=length(u)-1;
w = [ones(N/2,1);zeros(N/2+1,1)];              
h = 10^(-3);
nn=[1,5,10];
for j=1:length(nn)
    for n=1:nn(j)
        f_n=0.5*ones(1,N+1);
        for k=1:n
            g=(cos(k*pi*u))'; 
            a_k=2*h*w'*g;
            f_n=f_n+a_k*cos(k*pi*u);
        end
    end
    subplot(1,3,j)
    plot(x,y,'b--',LineWidth=1.5)
    hold on
    plot(u,f_n,'r',LineWidth=1.5)
    title('n='+string(nn(j)))
    legend('f(x)','$f_n(x)$','interpreter','latex')
end

En la gráfica se muestra la aproximación de [math] g(x) [/math] por los primeros términos de su serie de Fourier (1,5 y 10 respectivamente).

Para evitar el fenómeno de Gibbs vamos a utilizar las sumas de Cesáro para aproximar [math] g(x) [/math]. Su fórmula es: [math] S_N(x)=\frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N f_n(x). [/math]

x=[0:0.01:1];
y=[ones(50,1);zeros(51,1)];
u=0:10^(-3):1;
N=length(u)-1;
NN=[1,5,10];
w = [ones(N/2,1);zeros(N/2+1,1)];              
h = 10^(-3);
f=[];
for j=1:length(NN)
    for n=1:NN(j)
        f_n=0.5*ones(1,N+1);
        for k=1:n
            g=(cos(k*pi*u))'; 
            a_k=2*h*w'*g;
            f_n=f_n+a_k*cos(k*pi*u);
        end
        f=[f;f_n];
    end
%sumas de Cesaro
subplot(1,3,j)
plot(x,y,'b--',LineWidth=1.5)
hold on
S=zeros(1,N+1);
for n=1:NN(j)
    S=S+f(n,:);
end
S=(1./(NN(j)+1))*S;
plot(u,S,'r',LineWidth=1.5)
title('n='+string(NN(j)))
legend('f(x)','$f_n(x)$','interpreter','latex')
ylim([-0.2,1.2])
end

Al observar las gráficas, podemos observar que efectivamente el fenómeno de Gibbs desaparece.

4 Cambio de intervalo

Ahora vamos a observar qué hay que hacer cuando una función en vez de estar definida en el intervalo [math] [-\pi,\pi] [/math], está definida en un intervalo [math] [a,b] [/math]. En estos casos, hacemos un cambio de variable, variando así también la base trigonométrica.

Dado el intervalo [math] [a,b] [/math] tomamos [math] T=\frac{b-a}{2} [/math], y el cambio de variable [math] y=\frac{T}{pi}x [/math]. Con este cambio, la base trigonométrica es: [math] \left\{ \frac{1}{2}, \sin\left(\frac{n\pi}{T}y\right), \cos\left(\frac{n\pi}{T}y\right) \right\}_{n\in\mathbb{N}} [/math].

Por este motivo, en los dos ejemplos anteriores, cuyo intervalo era [math] [-1,1] [/math], hemos tomado como base trigonométrica [math] \left\{ \frac{1}{2},\cos( n\pi x),\sin(n\pi x) \right\}_{n\in\mathbb{N}}[/math].

Para entender mejor cómo cambiar de base, vamos a tomar la función [math] h(x)=xe^{-x} [/math] en el intervalo [math] [1,3] [/math] y a aproximarla por su serie de Fourier utilizando la misma base que en los ejemplos anteriores. Esto se debe a que al hacer el cambio de variable para tomar la nueva base lo único que afecta es el tamaño del intervalo, debido a la periodicidad de las funciones.

a=1; b=3;                    
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1);              
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
g0=(u_1.*exp(-u_1))';
a_0=h*w'*g0;
nn=[5,10,20];
for j=1:length(nn)
    for n=1:nn(j)
        f_n=0.5*a_0*ones(1,N+1);
        for k=1:n
            g1=(u_1.*exp(-u_1).*sin(k*pi*u_1))'; 
            g2=(u_1.*exp(-u_1).*cos(k*pi*u_1))';
            a_k=h*w'*g1;
            b_k=h*w'*g2;
            f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1)+b_k*cos(k*pi*u_1);
        end
    end
    subplot(1,3,j)
    plot(u_1,f_n,'r','LineWidth',1.5)
    hold on
    plot(u_1,u_1.*exp(-u_1),'b--','LineWidth',1.5)
    title('n='+string(nn(j)))
    legend('f(x)','$f_n(x)$','interpreter','latex')
end

5 Base trigonométrica compleja

clear all
a=0; b=1;                    
u_1=a:10^(-3):b;
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;
w=ones(N+1,1);              
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
n=10;
nn=[5,10,20];
for j=1:length(nn)
    f_n=zeros(1,N+1);
    for k=-nn(j):nn(j)
        g1=(4*u_1.*(0.5-u_1).^2.*conj(exp(-i*k*2*pi*u_1)))'; 
        g2=(exp(i*k*2*pi*u_1).*conj(exp(i*k*2*pi*u_1)))';
        c=h*w'*g1;
        d=h*w'*g2;
        a_k=c/d;
        f_n=f_n+a_k*exp(i*k*pi*2*u_1);
    end
    subplot(1,3,j)
    plot(u_1,f_n,'r',LineWidth=1.5)
    hold on
    plot(u_1,(4*u_1.*(0.5-u_1).^2),'b--',LineWidth=1.5)
    title('n='+string(nn(j)))
    legend('$f_n(x)$','f(x)','interpreter','latex')
end

Series de Fourier (Raúl, Sofía, Jaime)

Contenido

1 Preliminares

2 Series de Fourier

3 Extensión de funciones

4 Cambio de intervalo

5 Base trigonométrica compleja

Menú de navegación

Herramientas personales

Espacios de nombres

Variantes

Vistas

Más

Buscar

Navegación

Herramientas