Series de Fourier (Raúl, Sofía, Jaime)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Raúl Ortega
Sofía Gómez Jaime Sáenz de Miera |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este artículo vamos a estudiar qué son las series de Fourier utilizando varias funciones que ejemplifiquen todas las situaciones que nos podemos encontrar al calcular una serie de Fourier.
1 Preliminares
Antes de definir series de Fourier, necesitamos conocer el espacio [math] L^2= \{ f: \Omega \longrightarrow \mathbb{R} : \int_{\Omega}|f(x)|^2 \, dx \lt \infty \} [/math], que es un espacio de Hilbert.
Esto nos permite definir el producto escalar como [math]\langle f,g\rangle_{L^2(\Omega)}= \int_{\Omega} f(x) \cdot g(x) \, dx [/math], con [math] f,g\in L^2(\Omega) [/math], y el módulo como [math] \| \cdot \| _ {L^2 (\Omega)} = \sqrt{\langle\cdot , \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} [/math].
2 Series de Fourier
El conjunto [math] \{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx) \}_{n\in\mathbb{N}}[/math] es la base trigonométrica del espacio [math] L^2([-\pi,\pi])[/math], por tanto, toda función de [math] L^2([-\pi,\pi])[/math] puede expresarse como una combinación lineal de los elementos de esta. Además, podemos observar que las funciones de la base son [math] 2\pi[/math] periódicas, y es fácil comprobar que es una base ortogonal en [math] L^2([-\pi,\pi])[/math].
x=linspace(-1,1,200);
y=1/2*ones(1,200);
hold on
plot(x,y)
for n=1:4
plot(x,cos(n*pi*x))
plot(x,sin(n*pi*x))
end
plot(x,cos(5*pi*x))
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('1/2', '$\cos(\pi x)$', '$\sin(\pi x)$', '$\cos(2\pi x)$', '$\sin(2\pi x)$', '$\cos(3\pi x)$', '$\sin(3\pi x)$', '$\cos(4\pi x)$', '$\sin(4\pi x)$','$\cos(5\pi x)$', 'Interpreter','latex');
Una vez hemos entendido lo que es una base trigonométrica, podemos definir la serie de Fourier de una función [math] f[/math] como: [math] f \approx \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_n\cos{(nx)}+b_n\sin{(nx)})[/math]
Como la base trigonométrica es ortogonal, podemos obtener los coeficientes de la serie de Fourier como
[math] a_0=\frac{\langle f,\frac{1}{2}\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \frac{1}{2} \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\, dx [/math],
[math] a_n=\frac{\langle f,\cos(nx)\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \cos(nx) \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\cos(x)\, dx [/math].
[math] b_n=\frac{\langle f,\sin(nx)\rangle_{L^2([-\pi,\pi])}}{\| \sin(nx) \|^2 _ {L^2 ([-\pi,\pi])}} =\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{-\pi} f(x)\sin(x)\, dx [/math],
3 Extensión de funciones
Para simplificar los cálculos de los coeficientes de una serie de Fourier, podemos antes extender la función de forma par o impar porque así algunos términos se cancelan. Si la función es par, los coeficientes [math] b_n[/math] serán cero, ya que al ser el seno una función impar, el producto [math] f(x)\sin(x)[/math] también lo va a ser, y la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico se anula. Análogamente, si la función es impar los coeficientes [math] a_0,a_n,n\geq 1[/math] van a ser cero.
Para ejemplificar esto, tomaremos la función [math]f(x)=x(1-x)[/math]. La extenderemos de forma impar en el intervalo [math][-1,1]\ltmath/\gt y la aproximaremos usando su desarrollo en serie de Fourier. [[Archivo:Grafica1_2_1.png|300px|thumb|right]] {{matlab|codigo= x1=0:10^(-3):1; x2=-1:10^(-3):0; figure(1) hold on plot(x1,x1.*(1-x1),'r',LineWidth=1.5) plot(x2,x2.*(1+x2),'b',LineWidth=1.5) title('Extension impar de $f(x)=x(1-x)$', 'interpreter','latex',FontSize=15) xlabel('x') ylabel('y') }} [[Archivo:Grafica1_2_2.png|500px|thumb|right]] {{matlab|codigo= a=0; b=1; u_1=a:10^(-3):b; N=length(u_1)-1; h=(b-a)/N; w=ones(N+1,1); w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; figure(2) n=[1,5,10]; f_n=zeros(length(n),N+1); for i=1:length(n) for k=1:n(i) g=(u_1.*(1-u_1).*sin(k*pi*u_1))'; a_k=2*h*w'*g; f_n(i,:)=f_n(i,:)+a_k*sin(k*pi*u_1); end subplot(1,3,i) hold on plot(u_1,f_n(i,:),'r',LineWidth=1.5) plot(u_1,u_1.*(1-u_1),'--b',LineWidth=1.5) title('n='+string(n(i))) legend('$f_n(x)$','$f(x)$','interpreter','latex','Location','northwest') grid('on') end }} =Ej3= =Ej4= =Ej5=[/math]
