Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP))

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo Eau De Parfum (EDP)
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Lestau Torres, Pablo López Rojo, Celia Muñoz Guijarro, Sofía
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Para hablar de series de Fourier nos debemos remontar al "problema de la cuerda vibrante". Un problema que fue estudiado por matemáticos del siglo XVIII como d'Alambert, Euler y Daniel Bernouilli entre otros. Este último propuso una solución a este problema mediante la superposición infinita de ondas simples y fue Fourier quien aplicó y perfeccionó estas ideas en 1822 en su libro "Théorie analytique de la Chaleur"; donde sus razonamientos generaron numerosas controversias. En este trabajo abordaremos algunas de ellas y mostraremos la evolución de las conocidas series de Fourier, así como su representación actual empleando el espacio de funciones de cuadrado integrable y espacios de Hilbert.

(Comenzamos abordando la formulación moderna. Pues permite tanto comprender mejor los métodos de Fourier, así como una gran generalidad.)

2 Formulación moderna. Bases.

François Marie Charles Fourier

El desarrollo en "serie de Fourier" se realiza sobre funciones de cuadrado integrable, es decir, sobre las funciones que pertenecen al conjunto [math]L^2(Ω;\mathbb{C})[/math], siendo este:

[math]L^2(Ω;\mathbb{C}) = \{ f : Ω \to \mathbb{C} : \int_{Ω} |f(x)|^2 dx \lt \infty \}[/math]

Este conjunto tiene definido el siguiente producto escalar:

[math]\langle f, g \rangle \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx,[/math]

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert [math](L^2(Ω,\mathbb{C});\langle , \rangle_{L^2((Ω,\mathbb{C})})[/math].Además, cumple ser separable, por tanto, admite una base hilbertiana, es decir, ortonormal. En el contexto de un intervalo de la forma \[ [-\pi,\pi] \] una base trigonométrica típica es:

[math] \mathcal{B} =\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}^{\infty}_{n=1} [/math]

La base trigonométrica es un plar fundamental en la aproximación de funciones por series trigonométricas, pues es un conjunto de funciones que se utilizan para representar otras funciones en un intervalo específico. El primer paso para comprender la aproximación por este tipo de series implica visualizar sus componentes básicos que son, las funciones seno, coseno y la constante. Para ofrecer una comprensión visual e intuitiva de estas funciones fundamentales y su comportamiento, comenzamos dibujando el elemento constante de la base:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definir el rango de x con valores desde -1 a 1
x = np.linspace(-1, 1, 400)
# Definir la función constante f(x)
def f(x):
    return 0.5 * np.ones_like(x)

# Calcular los valores de y usando la función constante
y = f(x)

# Crear la gráfica
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(x, y, label='$f(x) = 1/2$', color='blue')  # Dibuja la línea para f(x) = 1/2

# Configurar la gráfica
plt.title('Función constante $f(x) = 1/2$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)  # Eje Y
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)  # Eje X
plt.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5)
plt.legend()

# Mostrar la gráfica
plt.show()

A continuación, mostramos los diez primeros elementos de nuestra base correspondientes a la forma [math]\cos(n\pi x)[/math] :

Función [math]\cos(n\pi x)[/math] para distintos valores de n en [-1,1]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros iniciales
N = 10
xx = np.arange(-1, 1 + 1e-3, 1e-3) 
# Crear las subfiguras para cada n
for n in range(1, N + 1):
    yy = np.cos(np.pi * n * xx) 
    
    plt.subplot(2, 5, n)
    plt.axhline(0, color='gray')  # Línea horizontal en y=0
    plt.axvline(0, color='gray')  # Línea vertical en x=0
    plt.plot(xx, yy, 'b')
    plt.axis('equal')  # Mantiene la misma escala en ambos ejes
    plt.xlim([-1, 1])
    plt.ylim([-1, 1])
    plt.title(f"n={n}", fontsize=10)
    plt.grid(True) : Añade una cuadrícula 

plt.tight_layout()  # Ajusta automáticamente los subplots para que se ajusten en la figura
plt.show()

Podemos observar que a medida que aumenta n, la frecuencia de la función coseno aumenta, de hecho, por cada incremento de n, se añade una oscilación completa adicional a la función dentro del intervalo. Por otra parte, el periodo se ve afectado por el factor [math]n\pi [/math] a medida que n incrementa, el periodo en [-1,1] disminuye, resultando en más ciclos completos de la función coseno. De forma similar, visualizamos los diez primeros términos para el elemento [math]\sin(n \pi x)[/math] de nuestra base trigonométrica.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parámetros iniciales
N = 10
xx = np.arange(-1, 1 + 1e-3, 1e-3) 
# Crear las subfiguras para cada n
for n in range(1, N + 1):
    yy = np.sin(np.pi * n * xx) 
    
    plt.subplot(2, 5, n)
    plt.axhline(0, color='gray')  # Línea horizontal en y=0
    plt.axvline(0, color='gray')  # Línea vertical en x=0
    plt.plot(xx, yy, 'b')
    plt.axis('equal')  # Mantiene la misma escala en ambos ejes
    plt.xlim([-1, 1])
    plt.ylim([-1, 1])
    plt.title(f"n={n}", fontsize=10)
    plt.grid(True) : Añade una cuadrícula 

plt.tight_layout()  # Ajusta automáticamente los subplots para que se ajusten en la figura
plt.show()

Análogamente al caso del coseno,es claro observar que a medida que n aumenta, la forma de la onda sigue siento sinusoidal, pero con más ciclos dentro del mismo intervalo, y el número de oscilaciones de la función dento de este aumenta.

Como hemos explicado anteriormente, las series de fourier descomponen una función en una suma infinita de senos y cosenos, junto con un término constante, que representan las componentes de frecuencia de la función. Visualizar estas funciones sinusoidales por separado ayuda a comprender cómo diferentes frecuencias y fases se combinarán para formar patrones complejos y cómo la variación de estos parámetros afecta a la forma de la función resultante.

Otro intervalo a estudiar, puede ser uno de la forma \([a; b]\). En tal caso, la base se puede hallar con un simple cambio de variable de la forma \(h(x) = 2\pi b\), obteniendo

[math] \mathcal{B} =\left\{ \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\} \cup \left\{ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi(x-a)}{b-a}-\pi\right)\right),\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi(x-a)}{b-a}-\pi\right)\right) \right\}^{\infty}_{n=1} [/math]