Series de Fourier (Arturo, Mario)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena García Mario Ríos Manjón
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 .Introducción

Las Series de Fourier, nombradas en honor al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, han emergido como un pilar fundamental en el estudio de funciones periódicas y en la resolución de problemas en diversos campos de la ciencia y la ingeniería. Estas series representan una herramienta matemática potente y versátil que permite descomponer funciones periódicas complejas en una combinación infinita de senos y cosenos, revelando así una estructura subyacente que facilita el análisis y la comprensión de fenómenos periódicos.

En esencia, las Series de Fourier ofrecen una perspectiva única para entender cómo las funciones periódicas pueden expresarse como la suma ponderada de armónicos simples. Este enfoque proporciona un método efectivo para analizar señales periódicas en términos de sus componentes fundamentales, permitiendo la resolución de problemas desde la teoría de control hasta el procesamiento de señales y la física aplicada.

El proceso de descomposición armónica propuesto por Fourier es particularmente relevante en el análisis de señales periódicas en el ámbito de la teoría de la comunicación, la ingeniería eléctrica, la física teórica y otras disciplinas. La capacidad de representar funciones periódicas complejas mediante la suma infinita de funciones senoidales y cosenoidales simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales, el estudio de fenómenos ondulatorios y la síntesis de señales complejas en términos de componentes más simples.

Además, las Series de Fourier no solo se limitan a funciones periódicas clásicas, sino que su aplicación se extiende a funciones no periódicas mediante el concepto de transformada de Fourier. Este enfoque ampliado permite analizar señales no periódicas y ofrece un puente entre la teoría de funciones periódicas y la teoría de distribuciones, lo que hace que las Series de Fourier sean una herramienta matemática fundamental en la resolución de problemas prácticos y teóricos.

2 .Preliminar

Tomemos el espacio de Hilbert [math]L^2([-\pi,\pi])[/math], así como una base de Hilbert de dicho espacio [math]\{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}[/math]. Sea [math] f \in L^2 ([-\pi,\pi]) [/math] se define la serie de Fourier como la serie convergente tal que:

[math] f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)] [/math]

Esto significa que cualquier función cuadrado-integrable en ese intervalo puede ser expresada como una combinación lineal de estas funciones. Los términos [math] a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} [/math] reciben el nombre de coeficientes de Fourier y se calculan como sigue:

[math]a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx, \hspace{30px} a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n \pi x) dx, \hspace{30px} b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n \pi x) dx [/math]

Debemos observar que [math]\{ \frac{1}{2},\cos(n\pi x),\sin(n \pi x)\}_{n \in \mathbb{N}}[/math] es una base de Hilbert salvo reescalamiento, es decir, que las componentes de la base no están normalizadas.

Otra cosa importante a recalcar es que la definición anterior se ha hecho para funciones definidas sobre el compacto [math][-\pi,\pi][/math]. Sin embargo, esto se puede definir para cualquier otro intervalo de la forma [math][-T,T][/math] mediante el cambio de variable [math]y=x\frac{T}{\pi}[/math], obteniendo la base:

[math]\lbrace \frac{1}{2},\cos(\frac{n\pi}{T} y),\sin(\frac{n\pi}{T} y)\rbrace_{n \in \mathbb{N}}[/math]

A partir de esto también es posible generalizarlo a intervalos de la forma [math] [a,b] [/math]. Bastaría utilizar la base del espacio [math]L^2([-\frac{b-a}{2},\frac{b-a}{2}])[/math], ya que estaría conformada por funciones periodicas de periodo [math]b-a[/math], que coincidiría con la longitud del intervalo de definición de la función que queremos aproximar.

La serie de Fourier converge puntualmente al valor de la función en los puntos de continuidad de la función original. Sin embargo, la convergencia puede ser problemática en puntos de discontinuidad.

3 .Apartado 1: Base trigonométrica

Se pide dibujar en una gráfica los 10 primeros términos de la base trigonométrica [math] \left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}, \, n \in \mathbb{N} [/math] en el intervalo [math] x \in [−1, 1] [/math].

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vectorx=-1:0.001:1;
for n=1:10
   g1=@(x) cos(n.*pi.*x);
   subplot(2,5,n);
   xline(0);
   hold on
   yline(0);
   plot(vectorx,g1(vectorx),'r')
   axis equal
   xlim([-1,1])
   ylim([-1,1])
   title(['$cos(', num2str(n), '\pi x)$'], 'Interpreter', 'latex');    
   hold off
end
vectory=zeros(1,length(vectorx));
for n=1:10
    g2=@(x) (sin(n*pi*x));
    for i=1:length(vectorx)
        vectory(i)=g2(vectorx(i));
    end
    figure(2)
    subplot(2,5,n);
    xline(0);
    hold on
    yline(0);
    plot(vectorx,vectory,'g')
    axis equal
    xlim([-1,1])
    ylim([-1,1])
    title(['$sen(', num2str(n), '\pi x)$'], 'Interpreter', 'latex');   
    hold off
end
figure(3)
plot(vectorx,1/2.*ones(1,length(vectorx)));
title('1/2')

Término de la base constante.

Término de la base [math] \cos(n\pi x)[/math] que se muestra en rojo.

Término de la base [math] \sin(n\pi x)[/math] se muestra en verde.

El periodo de una función trigonométrica, como el seno o el coseno, determina la longitud de un ciclo completo de la función. En el caso del seno y el coseno estándar, el periodo es [math] 2\pi [/math]. Sin embargo, al aumentar el periodo, estás modificando la longitud del ciclo, lo que afectará la frecuencia y la variación de la función en el dominio.

Aumento del periodo del coseno:

Efecto en el dominio: Si aumentas el periodo del coseno, la función se extenderá a lo largo del eje x antes de repetirse. Esto significa que la variación de la función se ralentizará, ya que se necesitará un rango x más amplio para completar un ciclo. La frecuencia disminuirá.

En el gráfico: Verás una elongación horizontal de la onda coseno. Los puntos donde la función alcanza sus máximos y mínimos se distanciarán más en el eje x.

Aumento del periodo del seno:

Efecto en el dominio: Similar al coseno, aumentar el periodo del seno también significa que la función tardará más en repetirse. La frecuencia disminuirá, y la función se extenderá a lo largo del eje x antes de volver a repetirse. En el gráfico: Observarás una onda seno que se estira horizontalmente. Los puntos donde la función cruza el eje x y alcanza sus extremos se distanciarán más en el eje x. En términos prácticos, aumentar el periodo de estas funciones afectará la rapidez con la que oscilan a lo largo del eje x. Es importante notar que, a medida que ajustas el periodo, también afectas la frecuencia angular de la función, ya que la frecuencia angular está relacionada con el inverso del periodo.

En resumen, aumentar el periodo disminuirá la frecuencia y extenderá la longitud de un ciclo completo de la función trigonométrica en el eje x.

4 Apartado 2: Aproximación de una función continua

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%Trapecio
f=@(x)x.*(1-x);
xx=0:0.001:1;
Y=zeros(length(xx));
for i = 1:10
    g=@(x) f(x).*sin(i.*pi.*x);
    a=2*trapz(xx,g(xx));
    h=@(x)a.*sin(i.*pi.*x);
    Y(i,:)=h(xx);
end
F=zeros(length(xx));
F(1,:)=Y(1,:);
for i= 2:10
    F(i,:)=sum(Y(1:i,:));
end

%Gráficas
for i=1:10
    subplot(2,5,i)
    hold on
    plot(xx,F(i,:), 'b--', "LineWidth",1)
    plot(xx,f(xx))
    hold off
    ylim([0,0.35])
    legend('f_{i}(x)', 'f(x)')
end

%Errores
ErrorNorma=zeros(1,10);
ErrorUnif=zeros(1,10);
for i=1:10
    Resta=abs(f(xx)-F(i,:));
    %Error norma
    Integral=trapz(xx,Resta.^2);
    ErrorNorma(i)=Integral^(1/2);
    %Error uniforme
    ErrorUnif(i)=max(Resta);
end
figure(2)
subplot(1,2,1)
plot(1:10,ErrorNorma)
ylim([0,0.009])
legend('Error Norma')
subplot(1,2,2)
plot(1:10,ErrorUnif)
ylim([0,0.013])
legend('Error Uniforme')

6 Apartado 4: Cambio de intervalo

Se pide la base trigonométrica para el intervalo [1, 3] y aproximar la función [math] f(x) = xe^{-x} [/math] con los primeros 5, 10 y 20 términos de la serie. La base trigonométrica será [math] B = \left\{\frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x)\right\}, \, n \in \mathbb{N} [/math] en el intervalo [math] x \in [1, 3] [/math] .

De este modo seremos capaces de calcular los coeficientes de Fourier para realizar la aproximación de la función f(x), véase que los coeficientes se calculan del siguiente modo:

[math]a_0 =\int_{1}^{3} xe^{-x} dx, \hspace{30px} a_n =\int_{1}^{3} xe^{-x} \sin(n \pi x) dx, \hspace{30px} b_n =\int_{1}^{3} xe^{-x} \cos(n \pi x) dx [/math]

Obteniendo el siguiente resutado para los coeficientes:

[math] a_0 = \mathrm{e}^{-3}\cdot\left(\mathrm{e}^2-2\right) [/math] [math] a_n = -\dfrac{\mathrm{e}^{-3}\cdot\left(2\left({\pi}^2n^2+2\right)\sin\left(3{\pi}n\right)+{\pi}n\cdot\left(3{\pi}^2n^2+5\right)\cos\left(3{\pi}n\right)-2\mathrm{e}^2\sin\left({\pi}n\right)-\mathrm{e}^2{\pi}n\cdot\left({\pi}^2n^2+3\right)\cos\left({\pi}n\right)\right)}{\left({\pi}^2n^2+1\right)^2} [/math] [math] b_n = \dfrac{\mathrm{e}^{-3}\cdot\left({\pi}n\cdot\left(3{\pi}^2n^2+5\right)\sin\left(3{\pi}n\right)-2\left({\pi}^2n^2+2\right)\cos\left(3{\pi}n\right)-\mathrm{e}^2{\pi}n\cdot\left({\pi}^2n^2+3\right)\sin\left({\pi}n\right)+2\mathrm{e}^2\cos\left({\pi}n\right)\right)}{\left({\pi}^2n^2+1\right)^2} [/math]

Se muestran las gráficas correspondientes a la serie de Fourier que aproxima a [math] f(x)= x \cdot e^{-x} [/math] donde se tendrán dichos términos para N= 5, 10, 20.

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f=@(x)x.*exp(-x);
xx=-1:0.001:1;

A=zeros(21,length(xx));
B=zeros(20,length(xx));
a_0=trapz(xx,f(xx+2)/2);
A(1,:)=a_0.*ones(1,length(xx));
for k=1:20
    g1=@(x)f(x+2).*sin(k.*pi.*x);
    g2=@(x)f(x+2).*cos(k.*pi.*x);

    a_k= trapz(xx,g1(xx));
    b_k= trapz(xx,g2(xx));

    h1=@(x)a_k.*sin(k.*pi.*x);
    h2=@(x)b_k.*cos(k.*pi.*x);
    
    A(k+1,:)=h1(xx);
    B(k,:)=h2(xx);
end

F=zeros(21,length(xx));
F(1,:)=A(1,:);
F(2,:)=sum(A(1:2,:))+B(1,:);
for i= 3:21
    F(i,:)=sum(A(1:i,:)) + sum(B(1:i-1,:));
end

%Gráficas
subplot(1,3,1)
hold on
plot(xx+2,F(6,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{5}(x)', 'f(x)')

subplot(1,3,2)
hold on
plot(xx+2,F(11,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{10}(x)', 'f(x)')

subplot(1,3,3)
hold on
plot(xx+2,F(21,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{20}(x)', 'f(x)')

Este primer código calcula los coeficientes de la serie de Fourier aproximando las integrales por el método del trapecio, de esa forma verificamos que las expresiones mostradas previamente son correctas. Ahora aportamos un segundo código utilizando los coeficientes anteriormente calculados.

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f=@(x)x.*exp(-x);
xx=-1:0.001:1;

A=zeros(21,length(xx));
B=zeros(20,length(xx));
a_0=trapz(xx,f(xx+2)/2);
A(1,:)=a_0.*ones(1,length(xx));
for k=1:20
    g1=@(x)f(x+2).*sin(k.*pi.*x);
    g2=@(x)f(x+2).*cos(k.*pi.*x);

    a_k= trapz(xx,g1(xx));
    b_k= trapz(xx,g2(xx));

    h1=@(x)a_k.*sin(k.*pi.*x);
    h2=@(x)b_k.*cos(k.*pi.*x);
    
    A(k+1,:)=h1(xx);
    B(k,:)=h2(xx);
end

F=zeros(21,length(xx));
F(1,:)=A(1,:);
F(2,:)=sum(A(1:2,:))+B(1,:);
for i= 3:21
    F(i,:)=sum(A(1:i,:)) + sum(B(1:i-1,:));
end

%Gráficas
subplot(1,3,1)
hold on
plot(xx+2,F(6,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{5}(x)', 'f(x)')

subplot(1,3,2)
hold on
plot(xx+2,F(11,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{10}(x)', 'f(x)')

subplot(1,3,3)
hold on
plot(xx+2,F(21,:), 'b--', "LineWidth",1)
plot(xx+2,f(xx+2))
hold off
legend('f_{20}(x)', 'f(x)')

A medida que aumentamos el número de términos en la serie de Fourier, la aproximación converge puntualmente a la función original en puntos específicos del dominio. Eso quiere decir que a medida que el número de términos de la serie aumenta, la calidad de la aproximación es mejor reduciendo de igual modo su error.