Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP))
Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP))
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo Eau De Parfum (EDP) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores |
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| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Las series de Fourier son un conjunto de técnicas matemáticas utilizadas para representar funciones periódicas como combinaciones lineales de funciones seno y coseno. Estas series son nombradas en honor al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien las introdujo en el siglo XIX.
El desarrollo en serie de Fourier se realiza a funciones de cuadrado integrable, es decir, a las funciones que pertenecen al conjunto [math]L^2(Ω;\mathbb{C})[/math], siendo este:
- [math]L^2(Ω;\mathbb{C}) = \{ f : Ω \to \mathbb{C} : \int_{Ω} |f(x)|^2 dx \lt \infty \}[/math]
Este conjunto tiene definido un producto escalar que lo dota de estructura de espacio de Hilbert [math](L^2(Ω,\mathbb{C});\langle , \rangle_{L^2((Ω,\mathbb{C})})[/math]. Además cumple ser separable, por tanto, existe una base hilbertiana, es decir, ortonormal. En el contexto de un intervalo de la forma [math] [-\pi,\pi] [/math] con, una base trigonométrica típica es la siguiente:
- [math] \mathcal{B} =\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos(nx),\frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin(nx) \right\}^{\infty}_{n=1} [/math]
Otro intervalo a estudiar puede ser uno de la forma [math][a, b][/math]. En tal caso, la base se puede hallar con un simple cambio de variable de la forma [math]h(x) = 2\pi b[/math], obteniendo
- [math] \mathcal{B} =\left\{ \frac{1}{\sqrt{b-a}} \right\} \cup \left\{ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi(x-a)}{b-a}-\pi\right)\right),\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b-a}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi(x-a)}{b-a}-\pi\right)\right) \right\}^{\infty}_{n=1} [/math]
Enfocándonos en un intervalo específico, como [-1,1] obtenemos la base [math]\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}[/math].
