Bases de Fourier

1 Aproximación de una función discontinua

Como se ha mencionado anteriormente las series de Fourier convergen a una función continua. Sin embargo, ¿cómo hacemos para aproximar funciones no estrictamente continuas?. Esta cuestión se resuelve teniendo en cuenta la condición de Dirichlet. Esta indica el intervalo [-pi,pi] se puede dividir en un conjunto de subintervalos finitos en los cuales la función es monótona, si la función es continua salvo en un número finito de puntos con discontinuidad de salto finito.

Nos apoyaremos entonces en el siguiente teorema.

1.1 Teorema

Si [math] f \in L^2 ([-\pi,\pi]) [/math] y verifica la condición de Dirichlet entonces la serie de Fourier converge puntualmente en los puntos de continuidad. Es decir:

• Si [math] x_0 [/math] es un punto de continuidad de [math] f [/math]: [math] f(x_0)=lim_{n\to\infty}\{\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)]\} [/math] .
• Si [math] x_0 [/math] es un punto de discontinuidad de [math] f [/math] la serie converge en [math] x_0 \lt/math a \ltmath\gt \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+}/{2} [/math]

En [math]\-pi[/math] y [math]\pi[/math] la serie converge a [math] \frac{f(\pi) + f(-\pi}/{2} [/math].