Series de Fourier (CGomJRod)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier. Grupo 6-A
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

A lo largo de la Historia los matemáticos se han encontrado con problemas que \textit{a priori} son imposibles de manejar, por ejemplo debido a su generalidad. Sin embargo, esta es sin duda un arma de doble filo. Por un lado, el planteamiento de problemas tan generales pueden parecer inabarcables debido a la infinidad de posibles casos, pero por otro, su solución nos proporciona una poderosa herramienta que nos permite simplificar multitud de problemas que nos parecían en un principio intratables. Un ejemplo claro son las series de Fourier, que nos permiten aproximar de forma sencilla y muy precisa infinitud de funciones mediante una serie infinita.

1.1 Definición

Sean el espacio de Hilbert [math]L^2([-\pi,\pi])[/math] y una base de Hilbert de dicho espacio [math]\{ \frac{1}{2},\cos(nx),\sin(nx)\}_{n \in \mathbb{N}}[/math]. Sea [math] f \in L^2 ([-\pi,\pi]) [/math] entonces se llama serie de Fourier a la serie convergente tal que:

[math] f(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)] [/math]

Los términos [math] a_0,a_n, b_n \in \mathbb{R} [/math] reciben el nombre de coeficientes de Fourier y se calculan como sigue:

/Intentar alinear los coeficientes

[math]a_0 =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx [/math]

[math]a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n \pi x) dx [/math]

[math]a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n \pi x) dx [/math]

Nótese que la familia [math]\{ \frac{1}{2},\cos(n\pi x),\sin(n \pi x)\}_{n \in \mathbb{N}}[/math] es una base de Hilbert salvo reescalamiento; no están normalizadas. Pese a esto, la teoría sigue siendo válida pues simplemente hay que dividir los coeficientes de Fourier por sus respectivas normas.

Otra cosa importante a recalcar es que la definición anterior se ha hecho para funciones definidas sobre el compacto [math][-\pi,\pi][/math]. Sin embargo, esto se puede definir para cualquier otro intervalo de la forma [math][-T,T][/math] mediante el cambio de variable [math]y=x\frac{T}{\pi}[/math], obteniendo la base:

[math]\{ \frac{1}{2},\cos(\frac{n\pi}{T} y),\sin(\frac{n\pi}{T} y)\}_{n \in \mathbb{N}}[/math]

A partir de esto también es posible generalizarlo a intervalos de la forma [math] [a,b] [/math]

Explicar lo de extender por simetría (Javi)

De igual forma podemos trabajar con intervalos abiertos en los dos o en alguno de los extremos, pues un punto es un conjunto de medida nula y al trabajar con integrales esto afecta de ninguna forma al resultado final.

2 Base trigonométrica

Para entender el significado de la definición anterior, veamos cómo se comportan los elementos de la base mencionada anteriormente.

A continuación se muestra una gráfica de los diez primeros elementos de la base de la forma [math]\cos(n\pi x)[/math].

/textbf{Insertar imagen bases trigonométricas coseno}

En la figura anterior se aprecia cómo según aumenta el valor de [math] n [/math] el periodo de la función va disminuyendo. Esto también se puede ver fácilmente a partir de la expresión analítica:

[math]\cos(n\pi x) =\cos(n\pi(x+T)) \iff n\pi x+2\pi=n\pi x+ n\pi x T \iff T=\frac{2}{n} [/math]

El razonamiento con los elementos de la forma [math]\sin(n\pi x)[/math] es análogo. A continuación se muestran las gráficas de dichos elementos con [math]n=1,...,10 [/math].

/textbf{Insertar imagen bases trigonométricas seno}

Por último, tenemos el elemento constante de la base [math] f(x)=\frac{1}{2}[/math], cuya gráfica es la que sigue.

/textbf{Insertar imagen base cte}

6 Base trigonométrica compleja

Ecuaciones Diferenciales Parciales es una asignatura del quinto semestre del Grado en Matemáticas. En este espacio se presentarán los trabajos de la asignatura. Se puede usar cualquier software de cálculo científico para hacer los programas. En caso de usar MatLab/Octave se recomienda el material correspondiente a gráficos del curso de introducción a la programación .

Se ruega seguir las siguientes recomendaciones:

1. Cada artículo debe iniciarse con una etiqueta que contenga la información del grupo. Se ruega editar esta página y copiar la plantilla que aparece a continuación, cambiando el título del trabajo e incluyendo nuestros nombres (el resto debe dejarse tal y como está):

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo 6-A | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | Nuestros nombres }}

1. Los artículos sobre los trabajos de la asignatura no deben ser una sucesión de preguntas y respuestas. Más bien hay que hacer una exposición en la que se planteen y resuelvan las cuestiones del trabajo. Dicho de otro modo, debe ser más un documental que una entrevista.
2. Los artículos deben ser autocontenidos y explicar bien el problema planteado. Es recomendable usar secciones para estructurar el trabajo y hacerlo más atractivo. La presentación será muy valorada.
3. El nombre elegido por cada artículo debe describir brevemente el problema. Por ejemplo, un título adecuado es: 'Series de Fourier (Grupo 7A)'. Un título poco adecuado es: 'Trabajo del grupo 7A'
4. Los artículos están orientados a visualización e interpretación. Por tanto, debe haber gráficas y todas ellas deben estar adecuadamente interpretadas.
5. Se deben incluir los programas con los que se han obtenido las gráficas.
6. Mirar los artículos escritos como ayuda. Se puede cortar y pegar de ellos para facilitar el trabajo.
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[[Categoría:EDP]]

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