Test

Velocidad de propagación

Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-

de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, [math] \vec{T}(x,y)[/math], o el campo deformaciones, [math] \vec{u}(x,y,t)[/math]. Ahora
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] .
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial [math]\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma[/math]. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-
locidad , [math] \vec{v}[/math], que será calculada suponiendo [math] \vec{F} = 0[/math] y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,[math]\lambda, \mu [/math]. Al es-
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar [math] \vec{v}[/math].
Comenzaremos por la divergencia de [math] \sigma [/math], esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] pa-

sa a ser:
[math]\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j} \quad [/math] y [math] \quad \sigma[/math] = [math]\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon \quad [/math] = [math] \quad \lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) \quad + \quad 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)[/math] =
[math] (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i)\quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) \quad + \quad (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec k \otimes \vec k [/math]).

Ya redefinida [math] \sigma [/math] se procera al calculo de la divergencia [math]\bigtriangledown \cdot \sigma [/math]:

[math]\bigtriangledown \cdot \sigma [/math] = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= [math]\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}[/math]

En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de [math] \vec{u}(x,y,t)[/math] respecto al tiempo t [math]\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}[/math]. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de [math] \vec{u}(x,y,t) [/math] .

[math] \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}[/math] = [math] (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \longrightarrow \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad \frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}[/math]

Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que [math]\vec{F} \quad = \quad 0 [/math]. No
se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en [math] \vec{j}[/math].

[math] \vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0[/math]
[math] \frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); [/math]
[math] \frac{1}{9}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}; [/math]
[math] v^2 \quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};[/math]
[math] v= \sqrt{(\lambda+2\mu)\frac{(\pi^2)}{3}} \longrightarrow \pi\sqrt{(\lambda+2\mu)\frac{1}{3}}[/math]

Si tenemos en cuenta los valores de los coeficientes de Lame mencionados al inicio del apartado 8.
La velocidad de propagación queda [math] \vec{v} \quad = \quad \pi\sqrt{\frac{1}{3}}\vec{j} [/math]. Las velocidades de propagación son distin-
tas dado que para nuestro ejercicio no tenemos componentes en x, por lo que la única velocidad que
difiere de 0 es la longitudinal. Siendo esta ultima la calculada a lo largo del apartado.