Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 33)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Fluido alrededor de un Obstáculo Circular. Grupo 33-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Beatrice Laval González Mario Quero González Maximiliano Rodríguez Ruiz Gerardo Rodríguez Socas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular.
Se define un fluido como aquel medio continuo cuya propiedad definitoria es la posibilidad de cambiar de forma sin que existan fuerzas restitutivas que tiendan a recuperar la forma original. De este modo, el término fluido hace referencia a aquellos gases y líquidos que carecen de rigidez y elasticidad. Además, son idealmente incompresibles ya que su volumen no disminuye al aplicarle fuerzas. Esta última cualidad, la tomaremos como objeto de estudio.

1 .-Superficie Mallada

Se comenzará realizando un mallado que describa los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Siendo este externo al obstáculo interior con una longitud de radio unitario. Para la representación del mismo, se emplearán coordenadas cilíndricas definidas en el intervalo Estando a su vez definidas en cartesianas en el intervalo (x,y) [5,5] x [-5,5].
Mediante el siguiente código elaborado en Matlab, se podrá visualizar la superficie de trabajo:

Representación del Mallado

clear;clc;
%Se parametrizan los valores de las circunferencias
I=linspace(1,5,50);   
J=linspace(0,2*pi,50);
%Se define el mallado del fluido
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
hold on
%Se definen X, Y y Z en coordenadas cilíndricas y se genera el mallado
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
Z=0.*rho;
mesh(X,Y,Z);
%Se crea el obstáculo
plot(1*cos(theta),1*sin(theta),'k','lineWidth',1);  
axis([-5,5,-5,5]);  
view(2); 
title('Mallado del Fluido');
xlabel 'X'
ylabel 'Y'
axis equal
hold off

2 .-FUNCIÓN POTENCIAL, CAMPO DE VELOCIDADES Y GRÁFICA ORTOGONALES.

Tras haber definido la región de estudio, se analizará el comportamiento del fluido. Para ello, será necesario calcular el campo de velocidades. El dominio del campo escalar estará definido por la función potencial siendo este [math] D\subset \mathbb{R}^{3} [/math] . La función potencial con la que se trabajará para conocer su comportamiento será:[math] \varphi (\rho ,\theta)=(\rho +\frac{1}{\rho})\cos (\theta )+\theta [/math]

2.1 .-Representación de la Función Potencial

En primer lugar, se mostrará la representación de la función potencial. Todo esto será desarrollado mediante funciones empleadas con la ayuda del programa Matlab:

Lineas de Nivel de la Función Potencial

clear;clc; 
I=linspace(1,5,30);   
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
hold on
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
%Se introduce la función potencial
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
%Se generan las líneas de nivel de la función
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off

2.2 .-Campo de Velocidades y Gráfica del Gradiente Ortogonal a las Líneas de Nivel

Sabiendo que la velocidad de las partículas de este fluido es el gradiente de la función potencial tal que: [math] \nabla \varphi=\vec u= \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho }\frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }\vec e_\theta+\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}\vec e_z = \left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - [\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho}]\vec e_\theta [/math]

A continuación, se mostrará una representación de las curvas de nivel de ortogonales al campo de velocidades. Todo esto será desarrollado mediante funciones empleadas con la ayuda del programa Matlab.:

Velocidad de las Partículas

clear;clc;
I=linspace(1,5,30);   
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);  
X=rho.*cos(theta);      
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
%Gradiente de la función potencial
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1+1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off

Así, el resultado del comportamiento del fluido estará interpretado de la siguiente forma:

centro

3 .-Vector Normal a la Frontera del Obstáculo Circular

Es posible verificar que el campo de velocidades [math] \nabla \varphi=\vec {u} [/math] es ortogonal a las curvas de nivel del campo escalar mediante el vector normal n. Siendo n un vector normal cualquiera a los puntos del obstáculo .Si u*n=0, implica que son ortogonales entre sí. Al hacer los cálculos en coordenadas cilíndricas, el vector ortogonal a las curvas de nivel será: -[math] \vec e_\rho [/math]

Suponiendo el gradiente en ρ=1 y multiplicándolo por el vector ortogonal anteriormente nombrado, se puede comprobar mediante un breve cálculo la condición de ortogonalidad:
[math](\vec u(\rho,\theta,z)=\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta)\vec e_\rho - [\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho}]\vec e_\theta) \cdot (-\vec e_\rho) = 0 [/math]

Si calculamos el valor de u en la frontera del obstáculo se obtendría: [math]\vec u(1,\theta,z)=\nabla \varphi(1,\theta,z)= (- 2\cdot\sin(\theta) - 1 )\vec e_\theta [/math]

5 .- Comprobación de Rotacional y Divergencia Nula

5.1 .-Rotacional

[math]\nabla\times \vec{u}=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix} \vec e_\rho &\rho\vec e_\theta &\vec e_z \\ \frac{\partial }{\partial \rho }& \frac{\partial }{\partial \theta }& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}=[/math]